Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp đưa về các phân thức có mẫu số là biểu thức bình phương.

I.Hướng dẫn giải

Ta tách phân thức thành dạng Ax+a+Bx+n+C(x+n)2 sau đó tìm các hệ số để dễ dàng tìm được tích phân cần tính.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính I=233x2+3x+53x33x+2dx

Bài giải:

Ta tách:

3x2+3x+53x33x+2=A(x1)2+Bx1+Cx+2

A(x+2)+B(x1)(x+2)+C(x1)2=3x2+3x+5

Chọn x=1A=113

Chọn x=2C=119

Hệ số tự do bên vế trái là 2A-2B+C.

Do đó: 2A2B+C=5B=169

Nên ta có:

I=233x2+3x+53x33x+2dx

=23(113(x1)2+116(x1)+169(x+2))dx

=116+116ln2+169ln54

Bài tập 2: Tính I=013x+14x3+28x2+65x+50

Bài giải: 

Ta tách:

3x+14x3+28x2+65x+50=3x+1(x+2)(2x+5)2=Ax+2+B2x+5+C(2x+5)2

3x+1=A(2x+5)2+B(x+2)(2x+5)+C(x+2)

Chọn x=2A=5

Chọn x=52C=13

Chọn x=0B=10

Do đó ta có:

I=013x+14x3+28x2+65x+50dx

=01(5x+2+102x+5+13(2x+5)2)dx

=5ln32+10ln75+26ln97