Dạng 1: So sánh các luỹ thừa hay căn số

Dạng 1: So sánh các luỹ thừa hay căn số.

2. So sánh hai luỹ thừa có cùng số mũ.

Với a, b # 1và $0 < b < a$ tương đương ${\begin{matrix} x > 0 \Leftrightarrow b^{x} < a^{x} \\ x < 0 \Leftrightarrow b^{x} > a^{x} \end{matrix}$

3. Với các biểu thức chứa căn, ta cần đưa về các căn cùng bậc.

Bài tập 1: So sánh

a) $199^{20}$ và $2003^{15}$

b) $3^{39}$ và $11^{21}$

Bài giải: a) Ta có

$199^{20} < 200^{20} = (8.25)^{20} = (2^{3} {.5}^{2})^{20} = 2^{60} {.5}^{40}$
$2003^{15} > 2000^{15} = (16.125)^{15} = (2^{4} {.5}^{3})^{15} = 2^{60} {.5}^{40}$

Vậy

2003^{15} > 199^{20}

b) Ta có

Vậy

11^{21} > 3^{39}

Bài tập 2: So sánh

a) $\sqrt{10} + \sqrt{5} + 1$ và $\sqrt{35}$

b) $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}$ và 2

Bài giải:

a) Ta có $\sqrt{10} + \sqrt{5} + 1 > \sqrt{9} + \sqrt{4} + 1 = 6$

Mà $\sqrt{35} < \sqrt{36} = 6$ .

Vậy $\sqrt{10} + \sqrt{5} + 1$ > $\sqrt{35}$ .

b) Ta có $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}$ < $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{4}}}$ = $\sqrt{1 + \sqrt{2 + 2}} = \sqrt{1 + 2}$ = $\sqrt{3} .$

Mà $\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2$ .

Vậy $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}$ < 2.