Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Xác định nghiệm của đa thức một biến Toán lớp 7. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Xác định một số có là nghiệm của đa thức hay không
Để xác định a có là một nghiệm của đa thức P(x) hay không, ta tính P(a):
- Nếu P(a) = 0 thì a là nghiệm của P(x)
- Nếu P(a) $\neq $ 0 thì a không là nghiệm của P(x)
Ví dụ 1: Kiểm tra xem -1; 1; 2; -2 có phải là các nghiệm của đa thức
P(x) = $x^{3}-x^{2}-4x+4$ hay không.
Hướng dẫn:
Ta có:
P(-1) = $(-1)^{3}-(-1)^{2}-4.(-1)+4$ = 6 $\neq $ 0
P(1) = $1^{3}-1^{2}-4.1+4$ = 0
P(2) = $2^{3}-2^{2}-4.2+4$ = 0
P(-2) = $(-2)^{3}-(-2)^{2}-4.(-2)+4$ = 0
Vậy các số 1; 2; -2 là nghiệm của P(x) còn -1 không là nghiệm của P(x)
2. Tìm nghiệm của đa thức cho trước.
Để tìm nghiệm của đa thức P(x), ta cần tìm giá trị của x sao cho P(x) = 0.
Chú ý đa thức bậc n có không quá n nghiệm
Để chứng tỏ đa thức P(x) không có nghiệm, ta chứng minh P(x) nhận giá trị khác 0 với mọi giá trị của x.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau:
a) P(x) = 3x + 1
b) Q(x) = $x^{2}-x$
c) R(x) = $x^{2}-5$
Hướng dẫn:
a) Xét P(x) = 0
$\Rightarrow $ 3x + 1 = 0 $\Leftrightarrow x = \frac{-1}{3}$
Vậy P(x) có một nghiệm là $x = \frac{-1}{3}$
b) Xét Q(x) = 0
$\Rightarrow x^{2}-x = 0 \Leftrightarrow x(x-2) = 0 \Leftrightarrow $x = 0 hoặc x = 1
Vậy Q(x) có hai nghiệm là 0 và 1.
c) Xét R(x) = 0
$\Rightarrow x^{2}-5 = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{5}$ hoặc $x = -\sqrt{5}$
Vậy R(x) có 2 nghiệm là $\sqrt{5}$ và -$\sqrt{5}$
3. Xác định đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước
Đa thức bậc nhất có dạng ax + b (a $\neq $ 0)
Đa thức bậc hai có dạng $ax^{2}+bx+c$ (a $\neq $ 0)
Đa thức bậc n có dạng $a^{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_{1}x+a_{0}$ (a $\neq $ 0)
Để xác định đa thức ta cần phải xác định được các hệ số của đa thức.
Ví dụ 3: Xác định đa thức bậc nhất P(x), biết P(1) = 1; P(0) = -1.
Hướng dẫn:
Đa thức bậc nhất P(x) có dạng P(x) = ax + b (a $\neq $ 0)
Có: P(0) = a.0 + b = b = -1
P(1) = a + b = 1. Mà b = -1 nên a = 2
Vậy đa thức cần tìm là P(x) = 2x - 1
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Cho đa thức Q(x) = $x^{5}+2x^{4}+2x^{3}-2x^{2}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-5$
Số 1 có là nghiệm của Q(x) hay không?
2. Chứng minh rằng: Nếu x0 là một nghiệm của P(x) = ax + b (a và b đều khác 0) thì $\frac{1}{x_{0}}$ là một nghiệm của Q(x) = bx + a.
3. Chứng minh rằng: Nếu x1, x2 là hai nghiệm khác nhau của đa thức P(x) = $ax^{2}+bx+c$ (a $\neq 0$) thì P(x) = a(x-x1)(x-x2)
4. Xét đa thức P(x) = ax$^{2}$+bx+c. Chứng minh rằng:
a) Nếu a + b + c = 0 thì x = 1 là một nghiệm của P(x)
b) Nếu a - b + c = 0 thì x = -1 là một nghiệm của P(x)
Áp dụng: Hãy tìm một nghiệm của các đa thức sau:
A(x) = $(\sqrt{5}-1)x^{2}-\sqrt{5}x+1$
B(x) = $(1+\sqrt{3})x^{2}+x-\sqrt{3}$
5. TÌm nghiệm của mỗi đa thức sau:
a) $(2x^{2}-3x+1) + (3x^{2}+3x-6)$
b) $x^{3}-8x$
c) $x^{3}+64$
d) $x^{2}-5x+4$
6. Chứng minh mỗi đa thức sau không có nghiệm:
a) $x^{2}-x+1$
b) $x^{4}+2x^{2}+1$
c) $x^{8}-x^{5}+x^{2}-x+1$
7. Xét đa thức P(x) = $ax^{2}+bx+c$ (a $\neq $ 0). Chứng tỏ rằng:
a) Nếu a + b + c = 0 thì P(x) có hai nghiệm là 1 và $\frac{c}{a}$
b) Nếu a - b +c = 0 thì P(x) có hai nghiệm là -1 và $-\frac{c}{a}$
8. Cho đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện:
xP(x+1) = (x+2)P(x)
Chứng minh rằng đa thức P(x) có ít nhất hai nghiệm
9. Xác định đa thức bậc nhất Q(x) biết Q(1) = $\frac{7}{2}$; Q(-1) = $\frac{-5}{2}$
10. Cho đa thức P(x) = ax + b
Tìm điều kiện của a và b để P(x1 + x2) = P(x1) + P(x2)
11. Cho đa thức P(x) = $\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} + \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}-1$
(với a, b, c đôi một khác nhau)
a) Chứng tỏ rằng P(x) có ít nhất ba nghiệm
b) Từ đó suy ra kết luận gì về giá trị của P(x)