Bài tập về xác định một số có là nghiệm của đa thức hay không

Bài tập về xác định một số có là nghiệm của đa thức hay không.

1. Q(x) = $x^5+2x^4+2x^3-2x^2-x^5-x^4+x^2-5$

Ta có: Q(1) = $1^5+{2.1}^4+{2.1}^3-{2.1}^2-1^5-1^4+1^2-5$

            = -3 $\ne$ 0

Do đó 1 không là nghiệm của Q(x)

2. x0 là một nghiệm của P(x) = ax + b (a và b đều khác 0) nên ax0 + b = 0 $\iff \frac{b}{x_0}+a=0$

Xét Q(x) = bx + a

    Q($\frac{1}{x_0})=\frac{b}{x_0}+a=0$

Do đó $\frac{1}{x_0}$ là một nghiệm của Q(x)

3. Vì x1, x2 là hai nghiệm khác nhau của đa thức P(x) = $a{x}^2+bx+c$ (a $\ne 0$) nên ta có:

P(x1) = $a{x}_1^2+b{x}_1+c=0\Rightarrow b{x}_1=-a{x}_1^2-c$ (1)

P(x2) = $a{x}_2^2+b{x}_2+c=0\Rightarrow b{x}_2=-a{x}_2^2-c$ (2)

Trừ từng vế của (1) cho (2) ta được:

$b(x_1-x_2)=-a(x_1^2-x_2^2)\Rightarrow b=-a(x_1+x_2)$ (3)

Thay (3) vào (1) ta được:

$c=-a{x}_1^2-b{x}_1=-a{x}_1^2+a(x_1+x_2)x_1=a{x}_1{x}_2$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra

P(x) = $a{x}^2+bx+c=a{x}^2-a(x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2$

     = $a(x^2-x{x}_1-x{x}_2+x_1{x}_2)$

     = $a(x-x_1)(x-x_2)$

4. Xét đa thức P(x) = ax^{2}+bx+c.

a) P(1) = a + b + c = 0 (theo đề bài).

Do đó 1 là một nghiệm của đa thức.

b) P(-1) = a - b + c = 0 (theo đề bài)

Do đó -1 là một nghiệm của đa thức.

Áp dụng:

A(x) = $(\sqrt{5}-1)x^2-\sqrt{5}x+1$

Đa thức A(x) có: a + b + c =  $(\sqrt{5}-1)-\sqrt{5}+1=0$ nên A(x) có một nghiệm là 1

B(x) = $(1+\sqrt{3})x^2+x-\sqrt{3}$

Đa thức B(x) có: a - b + c = $(1+\sqrt{3})-1-\sqrt{3}$ = 0 nên B(x) có một nghiệm là -1.