Bài tập về tìm nghiệm của đa thức cho trước

Bài tập về tìm nghiệm của đa thức cho trước.

5.

a) $(2x^2-3x+1)+(3x^2+3x-6)=0$

  $\iff 5x^2-5=0$

  $\iff (x-1)(x+1)=0$

  $\iff x=1$ hoặc $x=-1$

b) $x^3-8x=0$

  $\iff x(x^2-8)=0$

  $\iff x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=0$

  $\iff x=0$ hoặc $x=\sqrt{2}$ hoặc $x=-\sqrt{2}$

c) $x^3+64=0$

  $\iff x^3=-4^3$

  $\iff x=-4$

d) $x^2-5x+4=0$

  $\iff (x-1)(x-4)=0$

  $\iff x=1$ hoặc $x=4$

6. 

a) $x^2-x+1={(x-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}$ > 0 với mọi x

Do đó $x^2-x+1$ không có nghiệm

b) $x^4+2x^2+1=(x^2+1{)}^2$ > 0 với mọi x

Do đó $x^4+2x^2+1$ không có nghiệm

c) 

Xét $x\le 0$ thì $x^8\ge 0$; $-x^5\ge 0$; $x^2\ge 0$; $-x\ge 0$. Do đó:

P(x) = $x^8-x^5+x^2-x+1$ > 0

Xét 0 < x < 1 thì $x^8>0$ ; $1-x>0$ ; $1-x^3>0$. Khi đó:

P(x) = $x^8-x^5+x^2-x+1$ 

     = $x^8+x^2(1-x^3)+(1-x)$ > 0

Xét $x\ge 1$ thì $x^5>0$ ; $x^3-1\ge 0$; $x-1\ge 0$. Khi đó:

P(x) = $x^8-x^5+x^2-x+1$ 

     = $x^5(x^3-1)+x(x-1)+1$ > 0

Vậy P(x) > 0 với mọi x. Do đó P(x) không có nghiệm.

7. P(x) = $a{x}^2+bx+c$ (a $\ne$ 0)

a) a + b + c = 0

Xét P(1) = a + b + c = 0.

Do đó x = 1 là một nghiệm của đa thức P(x)

Xét P($\frac{c}{a}$) = $a.{\left(\frac{c}{a}\right)}^2+b.\frac{c}{a}+c$

        = $\frac{c^2}{a}+b.\frac{c}{a}+\frac{c}{a}.a$

        = $\frac{c}{a}(c+b+a)$

        = 0 (do a + b + c = 0)

Do đó $\frac{c}{a}$ là một nghiệm của đa thức P(x)

Vậy với a + b + c = 0 thì đa thức P(x) có hai nghiệm là 1 và $\frac{c}{a}$

b) Chứng minh tương tự câu a.

8. P(x) thỏa mãn xP(x+1) = (x+2)P(x) với mọi x.

Tại x = 0 thì 0.P(1) = 2.P(0) $\Rightarrow$ P(0) = 0

Do đó x = 0 là một nghiệm của P(x)

Tại x = -2 thì -2P(-1) = 0.P(-2) $\Rightarrow$ P(-1) = 0

Do đó x = -1 là một nghiệm của P(x)

Vậy P(x) có ít nhất hai nghiệm