Bài tập về xác định đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước.
9. Q(x) có dạng Q(x) = ax + b
Q(1) = a + b = $\frac{7}{2}$ (1)
Q(-1) = -a + b = $\frac{-5}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = 3; b = $\frac{1}{2}$
Vậy Q(x) = 3x + $\frac{1}{2}$
10. P(x) = ax + b
$\Rightarrow $ P(x1) = ax1 + b; P(x2) = ax2 + b; P(x1 + x2) = a(x1 + x2) + b
Ta có: P(x1 + x2) = P(x1) + P(x2)
$\Leftrightarrow $ a(x1 + x2) + b = ax1 + b + ax2 + b
$\Leftrightarrow b = 0$
Vậy với a bất kì và b = 0 thì thỏa mãn bài toán
11.
a) P(x) = $\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} + \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}-1$
(với a, b, c đôi một khác nhau)
Xét P(a) = $\frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)} + \frac{(a-a)(a-c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)}-1$
= $1 - 1$
= 0
Do đó x = a là một nghiệm của P(x)
Tương tự ta có x = b; x = c là các nghiệm của P(x)
Vậy P(x) có ít nhất 3 nghiệm
b) Ta thấy P(x) là đa thức bậc 2 mà có ít nhất 3 nghiệm.
Do đó P(x) phải là đa thức không. Hay P(x) = 0 với mọi x.