Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên hệ đến các cạnh của một tứ giác. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta sử dụng bất đẳng thức trong tam giác. Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
0 $\leq $ |a-b| < c < a + b
0 $\leq $ |b-c| < a < b + c
0 $\leq $ |c-a| < b < c + a
Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong môt tứ giác:
a) Mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi của tứ giác.
b) Tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.
Hướng dẫn:
Ta đặt độ dài các cạnh như trên hình vẽ thì chu vi tứ giác ABCD là a + b + c + d.
a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABC và ADC ga có:
AC < AB + BC hay AC < a + b
AC < AD + DC hay AC < c + d
$\Rightarrow 2AC < \frac{a+b+c+d\left ( a+b+c+d \right )}{2}$
Tương tự ta có: $BD < \frac{a+b+c+d\left ( a+b+c+d \right )}{2}$
Vậy mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi
b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào hai tam giác chứa hai cặp cạnh đối nhau AB, CD là $\Delta $OAB và $\Lambda $OCD ta được:
OA + OB > AB hay OA + OB > a
OC + OD > CD hay OC + OD > c
$\Rightarrow $ OA + OB+OC+OD > a+b. Hay AB + CD > a + c
Tương tự ta có: AC + BD > d+d
Vậy tổng hai đường chéo lơn hơn tổng hai cạnh đối.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác ấy.
2. Tìm điểm M trong tứ giác ABCD sao cho tổng các khoảng cách từ M đến đỉnh của tứ giác là nhỏ nhất.