Bài tập về sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên hệ đến các cạnh của một tứ giác

Bài tập về sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên hệ đến các cạnh của một tứ giác.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác ABCD.

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:

$Δ$ OAB có: OA + OB > AB

$Δ$ OBC có: OB + OC > BC

$Δ$ OCD có: OC + OD > CD

$Δ$ OAD có: OD + OA > AD

$\Rightarrow$ 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD

Hay 2(AC+BD) > AB + BC + CD + AD

$\Leftrightarrow A C + B D > \frac{A B + B C + C D + A D}{2}$ (đpcm)

Kẻ đường chéo AC, BD.

Nối MA, MB, MC, MD

Ta có:

$M A + M C \geq A C$ , dấu "=" xảy ra khi $M \in A C$

$M B + M D \geq B D$ , dấu "=" xảy ra khi $M \in B D$

$\Rightarrow M A + M B + M C + M D \geq A C + B D$

Vậy tổng khoảng cách từ M đến đỉnh của tứ giác là nhỏ nhất thì MA + MB + MC + MD = AC + BD.

Khi đó $M \in A C$ và $M \in B D$ . Hay M là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác.