Bài tập về sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên hệ đến các cạnh của một tứ giác.

1. 

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác ABCD.

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:

$\Delta $OAB có: OA + OB > AB

$\Delta $OBC có: OB + OC > BC

$\Delta $OCD có: OC + OD > CD

$\Delta $OAD có: OD + OA > AD

$\Rightarrow $ 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD

Hay 2(AC+BD) > AB + BC + CD + AD

  $\Leftrightarrow  AC + BD > \frac{AB + BC + CD + AD}{2}$ (đpcm)

2. 

Kẻ đường chéo AC, BD. 

Nối MA, MB, MC, MD

Ta có:

$MA + MC \geq AC$, dấu "=" xảy ra khi  $M\in AC$

$MB + MD \geq BD$, dấu "=" xảy ra khi  $M\in BD$

$\Rightarrow MA+MB+MC+MD\geq AC+BD$

Vậy tổng khoảng cách từ M đến đỉnh của tứ giác là nhỏ nhất thì MA + MB + MC + MD = AC + BD.

Khi đó $M\in AC$ và $M\in BD$. Hay M là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác.