Bài tập về sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên hệ đến các cạnh của một tứ giác.
1.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác ABCD.
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:
$\Delta $OAB có: OA + OB > AB
$\Delta $OBC có: OB + OC > BC
$\Delta $OCD có: OC + OD > CD
$\Delta $OAD có: OD + OA > AD
$\Rightarrow $ 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + AD
Hay 2(AC+BD) > AB + BC + CD + AD
$\Leftrightarrow AC + BD > \frac{AB + BC + CD + AD}{2}$ (đpcm)
2.
Kẻ đường chéo AC, BD.
Nối MA, MB, MC, MD
Ta có:
$MA + MC \geq AC$, dấu "=" xảy ra khi $M\in AC$
$MB + MD \geq BD$, dấu "=" xảy ra khi $M\in BD$
$\Rightarrow MA+MB+MC+MD\geq AC+BD$
Vậy tổng khoảng cách từ M đến đỉnh của tứ giác là nhỏ nhất thì MA + MB + MC + MD = AC + BD.
Khi đó $M\in AC$ và $M\in BD$. Hay M là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác.