Các phép tính về số phức và các bài toán định tính

Các phép tính về số phức và các bài toán định tính.

Ta sử dụng:

Bài tập 1: Tính môđun của số phức z, biết $\frac{| z |^{2}}{z} + i z + \frac{z - i}{1 - i} = 0$

Bài giải:

Dễ thấy $z . \bar{z} = | z |^{2} \Leftrightarrow \bar{z} = \frac{| z |^{2}}{z}$ .

Khi đó, ta được $\bar{z} + i z + \frac{z - i}{1 - i} = 0$

$\Leftrightarrow \bar{z} + i z + \frac{(z - i) (1 + i)}{2} = 0$

$\Leftrightarrow 2 i z + 2 \bar{z} + z - i + i z - i^{2} = 0$

$\Leftrightarrow (3 i + 1) z + 2 \bar{z} = i - 1.$

Đặt $z = x + y i \Rightarrow \bar{z} = x - y i .$ Khi đó, ta được

$(3 i + 1) (x + y i) + 2 x - 2 y i = i - 1.$

$\Leftrightarrow 3 x i - 3 y + 3 x - y i = i - 1$

$\Rightarrow {\begin{matrix} 3 x - 3 y = - 1 \\ 3 x - y = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} y = 1 \\ x = \frac{2}{3} \end{matrix}$

Vậy $z = \frac{2}{3} + i$ . Vậy $| z | = \frac{\sqrt{13}}{3}$ .

Bài tập 2: Cho số phức $z = a + b i$ thoả mãn điều kiện $| z^{2} + 4 | = 2 | z |$ . Đặt $P = 8 (b^{2} + a^{2}) - 12.$

Chứng minh: $P = (| z |^{2} - 2)^{2} .$

Bài giải:

Ta có $z = a + b i \Rightarrow z^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 a b i \Rightarrow z^{2} + 4 = a^{2} - b^{2} + 4 + 2 a b i .$

Khi đó, giả thiết $| z^{2} + 4 | = 2 | z |$

$\Leftrightarrow (a^{2} - b^{2} + 4)^{2} + 4 a^{2} b^{2} = 4 (a^{2} + b^{2})$

$\Leftrightarrow 8 (b^{2} - a^{2}) = 16 - 4 (a^{2} + b^{2}) + (a^{2} + b^{2})^{2}$

$\Rightarrow P = (a^{2} + b^{2})^{2} - 4 (a^{2} + b^{2}) + 4 = | z |^{4} - 4 | z |^{2} + 4 = (| z |^{2} - 2)^{2} .$