Bài tập 1. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:
a. -2x + y - 1 $\leq$ 0;
b. -x + 2y > 0
c. x - 5y < 2;
d. -3x + y + 2 $\leq$ 0;
e. 3(X - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3
Hướng dẫn giải:
a. Vẽ đường thẳng d: -2x + y - 1 = 0 đi qua hai điểm (-$\frac{1}{2}$; 0) và (0; 1).
Xét gốc tọa độ O(0; 0) $\notin$ d và -2. 0 + 0 - 1 = -1 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ d và chứa gốc tọa độ O.
b. Vẽ đường thẳng d': -x + 2y = 0 đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm (2, 1).
Xét điểm A(1; 1) $\notin$ d' và -1 + 2.1 = 1 > 0 nên miềm nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ d' và chứa điểm A.
c. Vẽ đường thẳng f: x - 5y - 2 = 0 đi qua hai điểm (2; 0) và (0; -$\frac{5}{2}$.
Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy O $\notin$ f và 0 - 5. 0 - 2 = -2 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ f và chứa gốc tọa độ O.
d. Vẽ đường thẳng f': -3x + y + 2 = 0 đi qua hai điểm ($\frac{2}{3}$; 0) và (0; -2).
Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O $\notin$ f' và -3. 0 + 0 + 2 = 2 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ f' và không chứa gốc tọa độ O.
e. 3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3 <=> 3x - 3 + 4y - 8 < 5x - 3 <=> -2x + 4y -8 < 0 <=> x - 2y + 4 > 0
Vẽ đường thẳng t: x - 2y + 4 = 0 đi qua hai điểm (-4; 0) và (0; 2).
Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O $\notin$ t và 0 - 2. 0 + 4 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ t và chứa gốc tọa độ O.
Bài tập 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:
$\left\{\begin{matrix} x - 2y > 0\\ x + 3y < 3\end{matrix}\right.$
Hướng dẫn giải:
Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.
Miền không tô màu( không kể bờ) là phần giao của hai miền nghiệm của hai bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài tập 3. Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II và III. Số kilogam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilogam từng loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất ra 1 kg sản phẩm được cho trong bảng sau:
|
Loại nguyên liệu |
Số kilogam nguyên liệu dự trữ |
Số kilogam nguyên liệu cần dùng sản xuất 1kg sản phẩm |
|
|
A |
B |
||
|
I |
8 |
2 |
1 |
|
II |
24 |
4 |
4 |
|
III |
8 |
1 |
2 |
Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất? Biết rằng, mỗi kilogam sản phẩm loại A lãi 30 triệu đồng, mỗi kilogam sản phẩm loại B lãi 50 triệu đồng.
Bài tập 4. Một công ty cần mua các tủ đựng hồ sơ. Có hai loại tủ: Tủ loại A chiếm 3$m^{2}$ sàn, loại này có sức chứa 12$m^{3}$ và có giá 7,5 triệu đồng; tủ loại B chiếm 6$m^{2}$ sàn, loại này có sức chứa 18$m^{3}$ và có giá 5 triệu. Cho biết công ty chỉ thu xếp được nhiều nhất là 60$m^{2}$ mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ và ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch mua sắm để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.
Bài tập 5. Một nông trại thu hoạch được 180kg cà chua và 10 kg hành tây. Chủ nông trại muốn làm các hũ tương cà để bán. Biết rằng, để làm ra một hũ tương cà loại A cần 10kg cà chua cùng với 1 kg hành tây và khi bán lãi thu được 200 nghìn đồng, còn để làm được một hũ tương cà loại B cần 5kg cà chua cùng với 0,25kg hành tây và khi bán lãi thu được 150 nghìn đồng. Thăm dò thị hiếu của khách hàng cho thấy cần phải làm số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B, Hãy giúp chủ nông trại lập kế hoạch làm tương cà để có được nhiều tiền lãi nhất.
Bài tập 6. Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng A, B sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày, máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một tấn sản phẩm X lãi 10 triệu đồng và một tấn sản phẩm Y lãi 8 triệu đồng.