Giải bài 4 Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

1. ELIP

Khám phá 1: Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm $F_1$ và $F_2$. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn $F_1{F}_2$. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà người ta gọi là đường elip.

Cho biết 2c là khoảng cách $F_1{F}_2$ và 2a + 2c là độ dài của vòng dây. Tính tổng hai khoảng cách $F_{1}M$ và $F_{2}M$.

Hướng dẫn giải:

$F_{1}M$ + $F_{2}M$ = 2a.

Phương trình chính tắc của elip

Khám phá 2: Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$ và đặt $F_1{F}_2$ = 2c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0). Xét điểm M(x; y).

a. Tính $F_{1}M$ và $F_{2}M$ theo x, y và c.

b. Giải thích phát biểu sau: M(x; y) $\in$ (E) $\iff$ $\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$ = 2a.

Hướng dẫn giải:

a. $F_{1}M$ = $\sqrt{(x_M-x_{F_1}{)}^2+(y_M-y_{F_1}{)}^2}$ = $\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$

$F_{2}M$ = $\sqrt{(x_M-x_{F_2}{)}^2+(y_M-y_{F_2}{)}^2}$ = $\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$

b. Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1}M$ + $F_{2}M$ = 2a

$\iff$ $\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$ = 2a.

Thực hành 1: Viết phương trình chính tắc của elip trong Hình 4.

Hướng dẫn giải:

Ta có: a = 3; b = 2.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^2}{9}$ + $\frac{y^2}{4}$ = 1

Vận dụng 1: Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao 4m, rộng 10m (Hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 2a = 10 $\Rightarrow$ a = 5; b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^2}{25}$ + $\frac{y^2}{16}$ = 1

2. HYPEBOL

Nhận biết hybebol

Khám phá 3: Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm $F_1$ và $F_2$. Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho d - l = 2a nhỏ hơn khoảng cách $F_1{F}_2$ (Hình 6a).

Đính một đầu dây vào đầu A của thước, dùng đinh ghim đầu dây còn lại vào điểm $F_2$. Đặt thước sao cho đầu B của thước trùng với điểm $F_1$ và đoạn thẳng BA có thể quay quanh $F_1$. Tựa đầu bút chì M vào đoạn dây, di chuyển M  trên tấm bìa và giữ một đường (H) (xem Hình 6b).

a. Chứng tỏ rằng khi M di động, ta luôn có $M{F}_1$ - $M{F}_2$ = 2a.

b. Vẫn đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố địng đầu dây còn lại vào $F_1$, đầu B của thước trùng với $F_2$ sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh $F_2$ và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (Hình 6c). Tính $M{F}_2$ - $M{F}_1$.

Hướng dẫn giải:

a. Ta có: $M{F}_2$ + MA = l $\Rightarrow$  MA = l - $M{F}_2$

Lại có $M{F}_1$ + MA = d $\Rightarrow$ $M{F}_1$ + l - $M{F}_2$ = d $\Rightarrow$ $M{F}_1$ - $M{F}_2$ = d - l = 2a

Vậy $M{F}_1$ - $M{F}_2$ = 2a

b. $M{F}_2$ - $M{F}_1$ = 2a

Phương trình chính tắc của hypebol

Khám phá 4: Cho hypebol (H) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$ và đặt $F_1{F}_2$ = 2c. Điểm M thuộc hypebol (H) khi vfa chỉ khi |$F_{1}M$ - $F_{2}M$| = 2a. Chọn hệ trục tóa độ Oxy sao cho $F_1$ = (-c; 0) và $F_2$ = (c; 0). Xét điểm M(x; y).

a. Tính $F_{1}M$ và $F_{2}M$ theo x, y và c.

b. Giải thích phát biểu sau: M(x; y) $\in$ (H) $\iff$ |$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$| = 2a.

Hướng dẫn giải:

a. $F_{1}M$ = $\sqrt{(x_M-x_{F_1}{)}^2+(y_M-y_{F_1}{)}^2}$ = $\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}$

$F_{2}M$ = $\sqrt{(x_M-x_{F_2}{)}^2+(y_M-y_{F_2}{)}^2}$ = $\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$

b. Hypebol (H) là tâp hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |$F_{1}M-F_{2}M$| = 2a

$\iff$ |$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$| = 2a.

Thực hành 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục ảo bằng 6.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5; 2b = 6 $\Rightarrow$ b = 3

$\Rightarrow$ a = $\sqrt{c^2-b^2}$ = $\sqrt{5^2-3^2}$ = 4

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: $\frac{x^2}{16}$ - $\frac{y^2}{9}$ = 1

Vận dụng 2: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là một hypebol có phương trình $\frac{x^2}{{27}^2}$ - $\frac{y^2}{{40}^2}$ = 1 (Hình 9). Cho biết chiều cao của tháp là 120m và khoảng cách từ nóc thấp đến tâm đối xứng của hypebol bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp.

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra ta có, khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bẳng 40m, khoảng cách từ tâm O đến đáy bằng 80m.

Thay y = 40 vào phương trình (H), ta được: $\frac{x^2}{{27}^2}$ - $\frac{{40}^2}{{40}^2}$ = 1 $\iff$ $x^2$ = 2. ${27}^2$ $\iff$ x = $\pm$ $27\sqrt{2}$

$\Rightarrow$ Bán kính đường tròn nóc bằng $27\sqrt{2}$ m.

Thay y = 80 vào phương trình (H), ta được:  $\frac{x^2}{{27}^2}$ - $\frac{{80}^2}{{40}^2}$ = 1 $\iff$ $x^2$ = 5. ${27}^2$ $\iff$ x = $\pm$ $27\sqrt{5}$

$\Rightarrow$ Bán kính đường tròn đáy bằng $27\sqrt{5}$ m.

3. PARABOL

Nhận biết parabol

Khám phá 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm F(0; $\frac{1}{2}$), đường thẳng $\mathrm{\Delta }$: y + $\frac{1}{2}$ = 0 và điểm M(x; y). Để tìm hệ thức liên hệ giữa x và y sao cho M cách đều F và $\mathrm{\Delta }$, một học sinh đã làm như sau:

• Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M lên $\mathrm{\Delta }$):

MF = $\sqrt{x^2+(y-\frac{1}{2}{)}^2}$, MH = d(M, $\mathrm{\Delta }$) = |y + $\frac{1}{2}$|

• Điều kiện để M cách đều F và $\mathrm{\Delta }$:

MF = d(M, $\mathrm{\Delta }$) $\iff$ $\sqrt{x^2+(y-\frac{1}{2}{)}^2}$ =  |y + $\frac{1}{2}$|

$\iff$ $x^2+(y-\frac{1}{2}{)}^2$ = $(y+\frac{1}{2}{)}^2$ $\iff$ $x^2$ = 2y $\iff$ y = $\frac{1}{2}{x}^2$  (*)

Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.

Hướng dẫn giải:

Đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được là một parabol.

Phương trình chính tắc của parabol

Khám phá 6: Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn $\mathrm{\Delta }$. Gọi khoảng cách từ tiuee diểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên p > 0.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F($\frac{p}{2}$; 0) và $\mathrm{\Delta }$: x + $\frac{p}{2}$ = 0.

Xét điểm M(x; y).

a. Tính MF và d(M, $\mathrm{\Delta }$).

b. Giải thích phát biểu sau: M(x; y) $\in$ (P) $\iff$ $\sqrt{(x-\frac{p}{2}{)}^2+y^2}$ = |x + $\frac{p}{2}$|

Hướng dẫn giải:

a. MF = $\sqrt{(x_F-x_M{)}^2+(y_F-y_M{)}^2}$ = $\sqrt{(\frac{p}{2}-x{)}^2+(0-y{)}^2}$ = $\sqrt{(x-\frac{p}{2}{)}^2+y^2}$

d(M, $\mathrm{\Delta }$) = |x + $\frac{p}{2}$|

b. Ta có (P) là tập hợp các điểm M cách đều F và $\mathrm{\Delta }$ nên MF = d(M, $\mathrm{\Delta }$)

$\iff$ $\sqrt{(x-\frac{p}{2}{)}^2+y^2}$ = |x + $\frac{p}{2}$|

Thực hành 3: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn $\mathrm{\Delta }$: x + 1 = 0

Hướng dẫn giải:

(P) có đường chuẩn $\mathrm{\Delta }$: x + 1 = 0 $\Rightarrow$ p = 2

Vậy (P) có phương trình $y^2$ = 4x

Vận dụng 3: Một cổng chào có hình parabol cao 10m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2m.

Hướng dẫn giải:

Chọ hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi phương trình của parabol là $y^2$ = 2px.

Ta có chiều cao của cổng là OC = 10 m $\Rightarrow$ C(10; 0)

Bề rộng của cổng tại chân cổng là AB = 5m $\Rightarrow$ AC = 2,5 m $\Rightarrow$ A(10; 2,5)

Vì A(10; 2,5) $\in$ (P) nên thay tọa độ của A vào phương trình (P), ta được: $2,5^2$ = 2p. 10

$\Rightarrow$ p = $\frac{5}{16}$ $\Rightarrow$ (P): $y^2$ = $\frac{5}{8}$x

Thay tọa độ điểm D(2; a) vào phương trình (P), ta được: $a^2$ = $\frac{5}{8}$. 2 $\Rightarrow$ a = $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Vậy bề rộng của cộng tại chỗ cách đỉnh 2m là: 2a = 2. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ = $\sqrt{5}$ (m).