Giải bài 3 Tích của một số với một vectơ

1. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT

Khám phá 1: Cho vectơ $\overrightarrow{a}$. Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ: $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{a}$, ($-\overrightarrow{a}$) + ($-\overrightarrow{a}$).

Hướng dẫn giải:

• |$\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{a}$| = 2|$\overrightarrow{a}$|, vectơ $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{a}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$
• |$-\overrightarrow{a}$ + $-\overrightarrow{a}$| = 2|$-\overrightarrow{a}$|, vectơ $-\overrightarrow{a}$ + $-\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$.

Thực hành 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ và một điểm M như Hình 3. 

a. Hãy vẽ các vectơ $\overrightarrow{MN}$ = 3$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{MP}$ = -3$\overrightarrow{b}$

b. Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: 3|$\overrightarrow{b}$|, |-3$\overrightarrow{b}$|, |2$\overrightarrow{a}$ + 2$\overrightarrow{b}$|.

Hướng dẫn giải:

a.

b. |3$\overrightarrow{b}$| = |-3$\overrightarrow{b}$| = $3\sqrt{2}$

Ta có: |2$\overrightarrow{a}$ + 2$\overrightarrow{b}$| = 2|$\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$| = 2|$\overrightarrow{a^{\prime }}$ + $\overrightarrow{b}$| = 2$\sqrt{2^2+(\sqrt{2}{)}^2+2.2.\sqrt{2}.cos{45}^{\circ }}=\sqrt{10}$

Thực hành 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{MC}$ = 3$\overrightarrow{MG}$

Hướng dẫn giải:

G là trọng tâm tam giác ABC 

$\iff$ $\overrightarrow{GA}$ + $\overrightarrow{GB}$ + $\overrightarrow{GC}$ = $\overrightarrow{0}$

$\iff$ $\overrightarrow{MA}$ - $\overrightarrow{MG}$ + $\overrightarrow{MB}$ - $\overrightarrow{MG}$ + $\overrightarrow{MC}$ - $\overrightarrow{MG}$ = $\overrightarrow{0}$

$\iff$ $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{MC}$ - 3$\overrightarrow{MG}$ = $\overrightarrow{0}$

$\iff$ $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{MC}$ = 3$\overrightarrow{MG}$ (đpcm)

Vận dụng: Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng Tây với tốc độ 20 hải lí/giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lí/giờ. Biếu diễn vectơ $\overrightarrow{b}$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$ của tàu A.

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow{b}$ = -$\frac{5}{2}$$\overrightarrow{a}$

2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VECTƠ CÙNG HƯỚNG

Khám phá 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ vfa $\overrightarrow{b}$ cùng phương, $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và cho $\overrightarrow{c}$ = $\frac{|\$\overrightarrow{a}\$|}{|\$\overrightarrow{b}\$|}$. $\overrightarrow{b}$. So sánh độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$.

Hướng dẫn giải:

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng hướng với nhau.

Thực hành 3: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn $\overrightarrow{GA}$ + $\overrightarrow{GB}$ + $\overrightarrow{GC}$ + $\overrightarrow{GD}$ = $\overrightarrow{0}$. Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{GA}$ + $\overrightarrow{GB}$ + $\overrightarrow{GC}$ + $\overrightarrow{GD}$ = $\overrightarrow{0}$

$\iff$ $\overrightarrow{IA}$ - $\overrightarrow{IG}$ + $\overrightarrow{IB}$ - $\overrightarrow{IG}$ + $\overrightarrow{JC}$ - $\overrightarrow{JG}$ + $\overrightarrow{JD}$ - $\overrightarrow{JG}$ = $\overrightarrow{0}$

$\iff$ ($\overrightarrow{IA}$ + $\overrightarrow{IB}$) - 2$\overrightarrow{IG}$ + ($\overrightarrow{JC}$ + $\overrightarrow{JD}$) - 2$\overrightarrow{JG}$ = $\overrightarrow{0}$

$\iff$ $\overrightarrow{0}$ - 2$\overrightarrow{IG}$ + $\overrightarrow{0}$ - 2$\overrightarrow{JG}$ = $\overrightarrow{0}$ ( vì I, J là trung điểm của AB, DC)

$\iff$ $\overrightarrow{IG}$ = - $\overrightarrow{JG}$

$\Rightarrow$ Ba điểm I, J, G thẳng hàng (đpcm).