Giải bài 4 Tích vô hướng của hai vectơ

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Khám phá 1: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).

a. Tính $\widehat{IDC}$.

b. Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.

c. Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng vectơ $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{AB}$.

Hướng dẫn giải:

a. $\widehat{DIC}$ = ${45}^{\circ }$

b. Hai vectơ cần tìm là $\overrightarrow{DI}$ và $\overrightarrow{DC}$

c. $\overrightarrow{DI}$ = $\overrightarrow{IB}$; $\overrightarrow{DC}$ = $\overrightarrow{AB}$

Thực hành 1: Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc: ($\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$), ($\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$), ($\overrightarrow{AH}$, $\overrightarrow{BC}$), ($\overrightarrow{BH}$, $\overrightarrow{BC}$), ($\overrightarrow{HB}$, $\overrightarrow{BC}$)

Hướng dẫn giải:

Lấy điểm D sao cho AD // BC và AD = BC

• ($\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$) = $\widehat{BAC}={60}^{\circ }$
• ($\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$) = ($\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$) = $\widehat{BAD}={120}^{\circ }$
• ($\overrightarrow{AH}$, $\overrightarrow{BC}$) = ($\overrightarrow{AH}$, $\overrightarrow{AD}$) = $\widehat{HAD}={90}^{\circ }$

Do hai vectơ $\overrightarrow{BH}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên ($\overrightarrow{BH}$, $\overrightarrow{BC}$) = $0^{\circ }$

Do hai vectơ $\overrightarrow{HB}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng nên ($\overrightarrow{HB}$, $\overrightarrow{BC}$) = ${180}^{\circ }$.

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Khám phá 2: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có cường độ 10N kéo một chiếc xe đi quãng đường dài 100m. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$, biết rằng góc giữa vectơ $\overrightarrow{F}$ và hướng di chuyển là ${45}^{\circ }$. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực $\overrightarrow{F}$, độ dài  quãng đường và côsin của góc giữa hai $\overrightarrow{F}$ và độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$).

Hướng dẫn giải:

A = |$\overrightarrow{F}$|.|$\overrightarrow{d}$|.$cos{45}^{\circ }$ = 10. 100.$cos{45}^{\circ }$ = $500\sqrt{2}$ (J)

Thực hành 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng $\sqrt{2}$. Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}$. $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AC}$. $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BA}$. $\overrightarrow{BC}$

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC vuông cân tại A có BC = $\sqrt{2}$ $\Rightarrow$ AB = AC = 1

$\overrightarrow{AB}$. $\overrightarrow{AC}$ = |$\overrightarrow{AB}$|. |$\overrightarrow{AC}$|.cos($\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$) = 1. 1. cos${90}^{\circ }$ = 0

$\overrightarrow{AC}$.$\overrightarrow{BC}$ = |$\overrightarrow{AC}$|. |$\overrightarrow{BC}$|. cos($\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$) = 1. $\sqrt{2}$. cos${45}^{\circ }$ = 1

$\overrightarrow{BA}$.$\overrightarrow{BC}$ = |$\overrightarrow{BA}$|.|$\overrightarrow{BC}$|.cos($\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$) = 1. $\sqrt{2}$. cos${45}^{\circ }$ = 1

Thực hành 3: Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là $12\sqrt{2}$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: cos($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b)}$ = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}$ = $\frac{12\sqrt{2}}{3.8}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow$ ($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$) = ${45}^{\circ }$

Vận dụng 1: Một người dùng một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 20N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50m cùng hướng với $\overrightarrow{F}$. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$.

Hướng dẫn giải:

A = 20. 50. $cos{0}^{\circ }$ = 1000 (J)

3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Thực hành 4: Cho hai vectơ $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a. Tính $(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}{)}^2$, $(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}{)}^2$, ($\overrightarrow{i}$ + $\overrightarrow{j}$).($\overrightarrow{i}$ - $\overrightarrow{j}$)

b. Cho $\overrightarrow{a}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + 2$\overrightarrow{j}$, b = 3$\overrightarrow{i}$ - 3$\overrightarrow{j}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ và tính góc ($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$)

Hướng dẫn giải:

a. $(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}{)}^2$ = ${\overrightarrow{i}}^2$ + 2$\overrightarrow{i}$. $\overrightarrow{j}$ + ${\overrightarrow{j}}^2$ = $|\overrightarrow{i}{|}^2$ + $|\overrightarrow{j}{|}^2$ + 2.|$\overrightarrow{i}$|. |$\overrightarrow{j}$|. cos${90}^{\circ }$ = $1^2$ + $1^2$ + 0 = 2

$(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}{)}^2$ = ${\overrightarrow{i}}^2$ - 2$\overrightarrow{i}$. $\overrightarrow{j}$ + ${\overrightarrow{j}}^2$ = $|\overrightarrow{i}{|}^2$ + $|\overrightarrow{j}{|}^2$ - 2.|$\overrightarrow{i}$|. |$\overrightarrow{j}$|. cos${90}^{\circ }$ = $1^2$ + $1^2$ - 0 = 2

($\overrightarrow{i}$ + $\overrightarrow{j}$).($\overrightarrow{i}$ - $\overrightarrow{j}$) = ${\overrightarrow{i}}^2$ - ${\overrightarrow{j}}^2$ = $|\overrightarrow{i}{|}^2$ - $|\overrightarrow{j}{|}^2$ = $1^2$ - $1^2$ = 0

b. Ta có: $\overrightarrow{a}$. $\overrightarrow{b}$ = (2$\overrightarrow{i}$ + 2$\overrightarrow{j}$)(3$\overrightarrow{i}$ - 3$\overrightarrow{j}$) = 6($\overrightarrow{i}$ + $\overrightarrow{j}$)($\overrightarrow{i}$ - $\overrightarrow{j}$) = 6. 0 = 0

$\Rightarrow$ ($\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$) = ${90}^{\circ }$

Vận dụng 2: Phân tử sulfur dioxide ($S{O}_2$) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\widehat{OSO}$ gần bằng ${120}^{\circ }$. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ $\overrightarrow{{\mu }_1}$ và $\overrightarrow{{\mu }_2}$ có cùng phương liên kết công hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và có cùng độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\overrightarrow{\mu }$ = $\overrightarrow{{\mu }_1}$ + $\overrightarrow{{\mu }_2}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử $S{O}_2$. Tính độ dài của $\overrightarrow{\mu }$.

Hướng dẫn giải:

|$\overrightarrow{\mu }$| $\approx \sqrt{1,6^2+1,6^2+2.1,6,1,6.cos{120}^{\circ }}$ = 1,6