Giải bài 3: Cấp số cộng

• Ôn tập lý thuyết
• Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu $(u_n)$là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi

$u_{n+1}=u_n+d;n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{\ast }}$(1)

Đặc biệt khi $d=0$thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau)

2. Số hạng tổng quát

ĐỊNH LÍ 1:

Nếu cấp số cộng $(u_n)$có số hạng đầu $(u_1)$và công sai $d$ thì số hạng tổng quát $(u_n)$được xác định bởi công thức:

$u_n=u_1+(n-1)d;n\ge 2$(2)

3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng

ĐỊNH LÍ 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2};k\ge 2$(3)

4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

ĐỊNH LÍ 3:

Cho cấp số cộng $(u_n)$.Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+....+u_n$

Khi đó

$S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$(4)

Chú ý: Vì $u_n=u_1+(n-1)d$nên công thức (4) có thể viết:

$S_n=n{u}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$(4')