Giải câu 3 bài 3: Cấp số cộng

Giải câu 3 bài 3: Cấp số cộng.

a)Ta có thể sử dụng các công thức sau:

$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d; d \geq 2$

$S_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2}$

$\Leftrightarrow S_{n} = n . u_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d$

Cần biết ít nhất ba trong năm đại lượng $u_{1}, n, d, u_{n}, S_{n}$ thì có thể tính được hai đại lượng còn lại.

b) Thực chất đây là năm bài tập nhỏ, mỗi bài ứng với các dữ liệu ở một dòng.

Ta giải từng bài tập nhỏ ta sẽ hoàn thành bảng.

Áp dụng công thức $d = \frac{u_{n} - u_{1}}{n - 1} = \frac{55 - (- 2)}{20 - 1} = 3$

$S_{n} = \frac{(u_{1} + u_{n}) . n}{2} = \frac{(- 2 + 55) .20}{2} = 530$

Đáp số: $d = 3, S_{20} = 530$ .

Tìm $u_{1}, u_{n}$

Áp dụng công thức $u_{15} = u_{1} + (n - 1) d = u_{1} + (15 - 1) . (- 4) = u_{1} - 56$

$\Leftrightarrow u_{1} - u_{15} = 56$ (1)

$S_{n} = \frac{(u_{1} + u_{n}) . n}{2}$

$\Rightarrow S_{15} = \frac{(u_{1} + u_{1} 5) .15}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(u_{1} + u_{15}) .15}{2} = 120$

$\Leftrightarrow (u_{1} + u_{15}) .15 = 240$

$\Leftrightarrow u_{1} + u_{15} = 16$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ sau:

${\begin{matrix} u_{1} - u_{15} = 56 \\ u_{1} + u_{15} = 16 \end{matrix}$

Giải hệ trên, ta được $u_{1} = 36, u_{15} = - 20$ .

Ta có $n - 1 = \frac{u_{n} - u_{1}}{d} = \frac{7 - 3}{\frac{4}{27}} = 27 \Rightarrow n = 28$

Áp dụng công thức \({S_n} = \frac{(u_{1}+u_{n}).n}{2}=\frac{(3+7).28}{2}=140$

Đáp số: $n = 28$ , $S_{n} = 140$ .

$\Leftrightarrow u_{1} + u_{n} = \frac{S_{n} .2}{n} = \frac{72.2}{12} = 12$

$\Rightarrow u_{1} = 12 - u_{n} = 12 - 17 = - 5$

Áp dụng công thức

$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d \Rightarrow d = \frac{u_{n} - u_{1}}{n - 1} = \frac{17 - (- 5)}{12 - 1} = 2$

Đáp số: $u_{1} = - 5, d = 2$ .

Thay số vào ta tìm được giá trị của n.

Tiếp theo áp dụng công thức $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$

Ta tìm được giá trị của $u_{n}$

Đáp số: $n = 10, u_{n} = - 43$ .

Ta được bảng sau: