Giải câu 3 bài 3: Cấp số cộng.
a)Ta có thể sử dụng các công thức sau:
$u_{n}=u_{1}+(n-1)d; d\geq 2$
$S_{n}=\frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$
$\Leftrightarrow S_{n}=n.u_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$
Cần biết ít nhất ba trong năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\) thì có thể tính được hai đại lượng còn lại.
b) Thực chất đây là năm bài tập nhỏ, mỗi bài ứng với các dữ liệu ở một dòng.
Ta giải từng bài tập nhỏ ta sẽ hoàn thành bảng.
- Biết \(u_1= -2, u_n= 55, n = 20\). Tìm \(d, S_n\)
Áp dụng công thức \(d = {{{u_n} - {u_1}} \over {n - 1}}=\frac{55-(-2)}{20-1}=3\)
\({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}=\frac{(-2+55).20}{2}=530\)
Đáp số: \(d = 3, S_{20}= 530\).
- Biết \(d = -4, n = 15\), \(S_n= 120\)
Tìm \(u_1,u_n\)
Áp dụng công thức \(u_{15}= u_1+ (n - 1)d=u_{1}+(15-1).(-4)=u_{1}-56\)
$\Leftrightarrow u_{1}-u_{15}=56$(1)
\({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\)
$\Rightarrow S_{15} = {{({u_1} + {u_15}).15} \over 2}$
$\Leftrightarrow \frac{({u_1} + u_{15}).15}{2}=120$
$\Leftrightarrow ({u_1} + u_{15}).15=240$
$\Leftrightarrow {u_1} + u_{15}=16$(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ sau:
\(\left\{ \matrix{{u_1} - {u_{15}} = 56 \hfill \cr {u_1} + {u_{15}} = 16 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ trên, ta được \(u_1= 36, u_{15}= - 20\).
- Áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n - 1)d\)
Ta có $n-1=\frac{u_{n}-u_{1}}{d}=\frac{7-3}{\frac{4}{27}}=27\Rightarrow n=28$
Áp dụng công thức \({S_n} = \frac{(u_{1}+u_{n}).n}{2}=\frac{(3+7).28}{2}=140$
Đáp số: \(n = 28\), \(S_n= 140\).
- Áp dụng công thức \({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\)
$\Leftrightarrow u_{1}+u_{n}=\frac{S_{n}.2}{n}=\frac{72.2}{12}=12$
$\Rightarrow u_{1}=12-u_{n}=12-17=-5$
Áp dụng công thức
\(u_n= u_1+ (n - 1)d\Rightarrow d=\frac{u_{n}-u_{1}}{n-1}=\frac{17-(-5)}{12-1}=2\)
Đáp số: \(u_1= -5, d= 2\).
- Áp dụng công thức \({S_n} = {{\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right].n} \over 2}\)
Thay số vào ta tìm được giá trị của n.
Tiếp theo áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n - 1)d\)
Ta tìm được giá trị của $u_{n}$
Đáp số: \(n = 10, u_n= -43\).
Ta được bảng sau: