Giải bài 2 Hàm số bậc hai

KHỞI ĐỘNG

Các hàm số này có chung đặc điểm gì?

Hướng dẫn giải:

Các hàm số này đều có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai.

1. HÀM SỐ BẬC HAI

Khám phá 1: Khai triển biểu thức của các hàm số sau và sắp xếp theo thứ tự lũy thừa của x giảm dần (nếu có thể). Hàm số nào có lũy thừa bậc cao nhất của x là bậc hai?

a. y = 2x(x - 3);              b. y = x($x^2$ + 2) - 5;                     c. y = -5(x + 1)(x - 4).

Hướng dẫn giải:

a. y = 2$x^2$ - 6x           b. y = $x^3$ + 2x - 5                   c. y = -5$x^2$ + 15x + 20

Hàm số a và c có lũy thừa cao nhất của x là bậc hai.

Thực hành 1: Hàm số nào trong các hàm số được cho ở Khám phá 1 là hàm số bậc hai?

Hướng dẫn giải:

Hàm số a. y = 2$x^2$ - 6x và hàm số c. y = -5$x^2$ + 15x + 20 là hàm số bậc hai.

2. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

Khám phá 2: 

a. Xét hàm số y = f(x) = $x^2$ - 8x + 19 = $(x-4{)}^2$ + 3 có bảng giá trị:

x	2	3	4	5	6
f(x)	7	4	3	4	7

Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; f(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 1).

Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị hàm số y = $x^2$ trên Hình 1.

b. Tương tự xét hàm số: y = g(x) = - $x^2$ + 8x -13 = - $(x-4{)}^2$ + 3 có bảng giá trị: 

x	2	3	4	5	6
g(x)	-1	2	3	2	-1

Trên mặt phẳng tọa độ, ta có các điểm (x; g(x)) với x thuộc bảng giá trị đã cho (Hình 2).

Hãy vẽ đường cong đi qua các điểm A, B, S, C, D và nêu nhận xét về hình dạng của đường cong này so với đồ thị của hàm số y = - $x^2$ trên Hình 2.

Hướng dẫn giải:

a.

Hình dạng của đồ thị hàm số y = f(x) = $x^2$ - 8x + 19 giống với hình dạng của hàm số y = $x^2$: đều là parabol, có bề lõm quay lên trên.

b.

Hình dạng của đồ thị hàm số y = g(x) = - $x^2$ + 8x -13 giống với hình dạng của hàm số y = - $x^2$: đều là parabol, có bề lõm quay xuống dưới.

Thực hành 2: Vẽ đồ thị hàm số y = $x^2$ - 4x + 3 rồi so sánh đồ thị hàm số này với đồ thị hàm số trong ví dụ 2a. Nêu nhận xét về hai đồ thị này.

Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = $x^2$ - 4x + 3 là một parabol (P):

• Có đỉnh S với hoành độ $x_S$ = 2, tung độ $y_S$ = -1;
• Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
• Bề lõm quay lên trên vì a > 0;
• Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).
• Phương trình $x^2$ - 4x + 3 = 0 có hai ngiệm phân biết $x_1$ = 1 và $x_2$ = 3 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (1; 0) và (3; 0).

Ta được đồ thị như sau:

3. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Khám phá 3: Từ đồ thị hàm số bậc hai cho ở hai hình sau, tìm khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số trong mỗi trường hợp.

Hướng dẫn giải:

a. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\mathrm{\infty }$; $\frac{-b}{2a}$) và đồng biến trên khoảng ($\frac{-b}{2a}$; +$\mathrm{\infty }$)

b. Hàm số đồng biến trên khoảng (-$\mathrm{\infty }$; $\frac{-b}{2a}$) và nghịch biến trên khoảng ($\frac{-b}{2a}$; +$\mathrm{\infty }$)

Thực hành 3: Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y = 2$x^2$ - 6x + 11. Hàm số này có thể đạt giá trị bằng -1 không? Tại sao?

Hướng dẫn giải:

Đỉnh S có tọa độ: $x_S$ = $\frac{-b^{\prime }}{a}$ = $\frac{3}{2}$; $y_S$ = -$\frac{(-3{)}^2-2.11}{2}$ = $\frac{13}{2}$

Hay S($\frac{3}{2}$; $\frac{13}{2}$.

Vì hàm số bậc hai có a = 2 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có: hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\mathrm{\infty }$; $\frac{3}{2}$) và nghịch biến trên khoảng ($\frac{-b}{2a}$; +$\mathrm{\infty }$)

Hàm số này không thể đạt giá trị y = -1 vì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{13}{2}$ khi x = $\frac{3}{2}$.

4. ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Vận dụng: Trong bài toán ứng dụng, khi chơi trên sân cầu lông, các lần phát cầu với thông tin như sau có được xem là hợp lệ không? (Các thông tin không được đề cập thì vẫn giữ như trong giả thiết bài toán trên).

a. Vận tốc xuất phát của cầu là 12m/s.

b. Vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3m.

Lưu ý: Các thông số về sân cầu lông đơn được cho như Hình 11.

Hướng dẫn giải:

a. Với g = 9,8m/$s^2$, góc phát cầu $\alpha$ = ${30}^{\circ }$, vận tốc ban đầu $v_0$ = 12m/s, $y_0$ = 0,7 m, phương trình quỹ đạo của cầu là:

y = $\frac{-4,9}{108}$$x^2$ + $\frac{\sqrt{3}}{3}$x + 0,7 (với x $\ge$ 0)

Vị trí rơi cầu chạm đất là giao điểm của parabol và trục hành nên giải phương trình: 

$\frac{-4,9}{108}$$x^2$ + $\frac{\sqrt{3}}{3}$x + 0,7 = 0 ta được $x_1$ $\approx$ -1,11 và $x_2$ $\approx$ 13,84.

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 13,84m > chiều dài sân 13,4m nên lần phát cầu không hợp lệ vì cầu rơi ra ngoài đường biên phía bên sân đồi phương.

b. Với g = 9,8m/$s^2$, góc phát cầu $\alpha$ = ${30}^{\circ }$, vận tốc ban đầu $v_0$ = 8m/s, $y_0$ = 1,3 m, phương trình quỹ đạo của cầu là:

y = $\frac{-4,9}{48}$$x^2$ + $\frac{\sqrt{3}}{3}$x + 1,3 (với x $\ge$ 0)

Vị trí rơi cầu chạm đất là giao điểm của parabol và trục hành nên giải phương trình: 

$\frac{-4,9}{48}$$x^2$ + $\frac{\sqrt{3}}{3}$x + 1,3 = 0 ta được $x_1$ $\approx$ -1,73 và $x_2$ $\approx$ 7,38.

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 7,38m.

Với giả thiết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 4m thì vị trí cầu rơi cách lưới 3,38m, vẫn trong đường biên phía bên sân đối phương. Do đó, lần phát cầu này là hợp lệ.