Bài tập 1. Một nhóm tình nguyện viên gồm 4 học sinh lớp 10A, 5 học sinh lớp 10B và 6 học sinh lớp 10C. Để tham gia một công việc tình nguyện, nhóm có bao nhiêu cách cử ra
a. 1 thành viên của nhóm?
b. 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau?
c. 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau?
Hướng dẫn giải:
a.
- PA1: Chọn 1thành viên bất kì trong 4 học sinh lớp 10A là một tổ hợp chập 1 của 4 học sinh
$\Rightarrow$ Có: $C_{4}^{1}=4$ (cách)
- PA2: Chọn 1 thành viên bất kì trong 5 học sinh lớp 10B là một tổ hợp chập 1 của 5 học sinh
$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{1}=5$ (cách)
- PA3: Chọn 1 thành viên bất kì trong 6 học sinh lớp 10C là một tổ hợp chập 1 của 6 học sinh
$\Rightarrow$ Có: $C_{6}^{1}=6$ (cách)
$\Rightarrow$ Áp dụng quy tắc cộng: 4 + 5 + 6 = 15 cách thỏa mãn yêu cầu đề.
b. Việc chọn 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau gồm 3 CĐ:
- CĐ1: Mỗi 1 thành viên bất kì trong 4 học sinh lớp 10A là một tổ hợp chập 1 của 4 học sinh
$\Rightarrow$ Có: $C_{4}^{1}=4$ (cách)
- CĐ2: Mỗi 1 thành viên bất kì trong 5 học sinh lớp 10B là một tổ hợp chập 1 của 5 học sinh
$\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{1}=5$ (cách)
- CĐ3: Mỗi 1 thành viên bất kì trong 6 học sinh lớp 10C là một tổ hợp chập 1 của 6 học sinh
$\Rightarrow$ Có: $C_{6}^{1}=6$ (cách)
$\Rightarrow$ Áp dụng quy tắc nhân: 4.5.6 = 120 (cách) thỏa mãn yêu cầu đề.
c. Việc chọn 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau gồm 2 PÁ:
- PÁ1: Chọn 1 thành viên của lớp 10A và 1 thành viên của lớp 10B
$\Rightarrow$ $C_{4}^{1}.C_{5}^{1}=4.5 = 20$ (cách)
- PÁ2: Chọn 1 thành viên của lớp 10A và 1 thành viên của lớp 10C
$\Rightarrow$ $C_{4}^{1}.C_{6}^{1}=4.6 = 24$ (cách)
- PÁ3: Chọn 1 thành viên của lớp 10B và một thành viên của lớp 10C
$\Rightarrow$ $C_{5}^{1}.C_{6}^{1}=5.6 = 30$ (cách)
$\Rightarrow$ Áp dụng quy tắc cộng: 20 + 24 + 30 = 74 cách thỏa mãn yêu cầu đề.
Bài tập 2. Một khoá số có 3 vòng số (mỗi vòng gồm 10 số, từ 0 đến 9) như Hình 1. Người dùng cần đặt mật mã cho khoá là một dãy số có ba chữ số. Để mở khoá, cần xoay các vòng số để dãy số phía trước khóa trùng với mật mã đã chọn. Có bao nhiêu cách chọn mật mã cho khoá?
Hướng dẫn giải:
Việc chọn mật mã cho khóa gồm 3 công đoạn:
- CĐ1: Chọn 1 mã số trong 10 chữ số ở vòng số thứ nhất
$\Rightarrow$ Có $C_{10}^{1}=10$ (cách)
- CĐ2: Chọn 1 mã số trong 10 chữ số ở vòng số thứ hai
$\Rightarrow$ Có $C_{10}^{1}=10$ (cách)
- CĐ3: Chọn 1 mã số trong 10 chữ số ở vòng số thứ hai
$\Rightarrow$ Có $C_{10}^{1}=10$ (cách)
$\Rightarrow$ Áp dụng quy tắc nhân: 10.10.10 = 1000 cách chọn mật mã cho khóa.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài tập 3. Từ 6 thẻ số như Hình 2, có thể ghép để tạo thành bao nhiêu
a. Số tự nhiên có sáu chữ số?
b. Số tự nhiên lẻ có sáu chữ số?
c. Số tự nhiên có năm chữ số
d. Số tự nhiên có năm chữ số lớn hơn 50 000?
Bài tập 4. Thực đơn tại một quán cơm văn phòng có 6 món mặn, 5 món rau và 3 món canh. Tại đây, một nhóm khách muốn chọn bữa trưa gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh. Nhóm khách có bao nhiêu cách chọn?
Bài tập 5. Cho 9 điểm nằm trên hai đường thẳng song song như Hình 3. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho?
Bài tập 6. Khai triển các biểu thức
a. ${{\left( a-\frac{b}{2} \right)}^{4}}$
b. ${{(2{{x}^{2}}+1)}^{5}}$
Bài tập 7. Hãy khai triển và rút gọn biểu thức
${{(1+x)}^{4}}+{{(1-x)}^{4}}$
Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng giá trị biểu thức $1,{{05}^{4}}+0,{{95}^{4}}$