[CTST] Giải bài tập cuối chương 8

Giải bài tập cuối chương 8 - sách chân trời sáng tạo toán 7 tập 2. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài học..

Giải bài 1 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC cân tại A ( $\widehat{A}$ < 90°). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng ∆ BEC = ∆ CFB.

b) Chứng minh rằng ∆ AHF = ∆ AHE.

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

a)∆ ABC cân tại A => $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ và AB = AC

=> $\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$

BE và CF là hai đường cao của ∆ ABC

=> ∆BEC và  ∆ CFB là 2 tam giác vuông lần lượt tại E và F.

+ Xét ∆BEC vuông tại E và ∆CFB vuông tại F có:

BC chung

$\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$

=> ∆ BEC = ∆ CFB (góc nhọn và một cạnh góc vuông)

b) Theo a:  ∆BEC =∆ CFB

=> EC = FB 

Có AF = AB - FB

     AE= AC - EC

mà AB = AC, EC = FB

=> AF = AE

BE và CF là hai đường cao cắt nhau tại H

=> ∆ AFH và  ∆ AEH là 2 tam giác vuông lần lượt tại F và E.

+ Xét ∆ AFH vuông tại F và  ∆AEH vuông tại E  có: 

AH chung

AF = AE

=> ∆ AFH = ∆ AEH (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

c) H là giao điểm của 2 đường cao BE và CF trong tam giác ABC

=> H là trực tâm của ∆ ABC

=> AH ⊥ BC (1)

Có I là trung điểm của BC

=> AI là đường trung tuyến của ∆ ABC

Xét  ∆ ABI và  ∆ ACI  có: 

AB = AC

AI chung 

IB = IC (I là trung điểm của BC)

=> ∆ ABI =  ∆ ACI (c.c.c)

=> $\widehat{AIC}$ = $\widehat{AIB}$

Có $\widehat{AIC}$ + $\widehat{AIB}$ = 180°

=> 2$\widehat{AIB}$ = 180°

=> $\widehat{AIB}$ = 90°

=> AI ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) => A, I, H thẳng hàng.

Giải bài 2 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM.

a) Chứng minh tam giác ABM cân.

b) Chứng minh rằng ∆ ABC = ∆ MBC.

Hướng dẫn giải:

a) Có AH là đường cao của ∆ ABC

=> AH ⊥ BC hay AM ⊥ BH

=> ∆BHA và ∆AHM là 2 tam giác vuông tại H

Xét ∆ BHA và ∆ BHM cùng vuông tại H có :

BH chung

AH = HM

=> ∆BHA = ∆BHM (hai cạnh góc vuông)

=> BA = BM 

=> ∆ABM cân tại B.

b) Theo a: ∆BHA = ∆BHM 

=> $\widehat{ABH}$ = $\widehat{MBH}$ hay $\widehat{ABC}$ = $\widehat{MBC}$

Xét ∆ABC và ∆MBC có :

  BC chung

  $\widehat{ABC}$ = $\widehat{MBC}$

  AB = BM

=> ∆ABC = ∆MBC (c.g.c)

Giải bài 3 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB , AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của HC lấy điểm D sao cho HD = DC.

a) Chứng minh AC = AD.

b) Chứng minh rằng   $\widehat{ADB}$ = $\widehat{BAH}$.

Hướng dẫn giải:

a)Ta có AH  là đường cao của ∆ ABC

=>  ∆ AHD và ∆ AHC là 2 tam giác vuông tại H

Xét ∆ AHD và ∆ AHC cùng vuông tại H có :

 AH chung

 HD = HC

=> ∆AHD và ∆AHC (hai cạnh góc vuông)

=> AC = AD

b)

+ ∆ABC vuông tại A nên  $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$= 90°

∆ABH vuông tại H nên $\widehat{ABH}$ + $\widehat{HAB}$= 90°

=> $\widehat{ACB}$ = $\widehat{HAB}$

+ Có AC = AD => ∆ ACD cân tại A

=>  $\widehat{ACD}$ = $\widehat{ADC}$

mà $\widehat{ACB}$ = $\widehat{HAB}$

=> $\widehat{ADB}$ = $\widehat{HAB}$.

Giải bài 4 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE ⊥ AN (E thuộc AN).

a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB và NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Hướng dẫn giải:

a) Xét ∆ABE và ∆NBE cùng vuông tại E có:

  AB = BN 

  BE chung

=> ∆ABE = ∆NBE (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

=> $\widehat{ABE}$ = $\widehat{NBE}$ 

=> BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Xét tam giác ABN có: AH và BE là hai đường cao cắt nhau tại K

=> K là trực tâm tam giác ABN

=> NK ⊥ AB

mà AC ⊥ AB

=> NK // AC.

c) Xét ∆FBN và ∆ FBA có :

 BN = BA

 $\widehat{NBF}$ = $\widehat{ABF}$ (chứng minh trên)

 BF chung

=> ∆FBN và ∆FBA (c.g.c)

mà ∆ FBA vuông tại A

=> ∆ FBN vuông tại N

=> BN ⊥ FN hay BN ⊥ GN

=> ∆ BNG vuông tại N

Xét 2 tam giác vuông ∆BNG và ∆BAC có

  BN = BA

  $\widehat{ABN$ chung

=> ∆BNG = ∆BAC (góc nhọn và một cạnh góc vuông)

=> BG = BC

=> ∆ BCG cân tại B.

Giải bài 5 trang 84 toán 7 tập 2 chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng  $\widehat{BMN}$ = $\widehat{HAC}$.

b) Kẻ MI ⊥ AH (I thuộc AH), gọi K là giao điểm của AH với bM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Hướng dẫn giải:

a) M, N thuộc đường trung trực của BC

=> MB = MC, NB = NC

=> ∆ MBC cân tại M, N là trung điểm của BC

=> MN là đường trung tuyến của ∆ MBC cân tại M

Xét ∆ MBN  và ∆ MCN có :

MB = MC

BN = NC

MN chung

=> ∆ MBN  = ∆ MCN ( c.c.c)

=> $\widehat{BMN}$ = $\widehat{CMN}$

∆ AHC vuông góc tại H

=> $\widehat{HAC}$ + $\widehat{HCA}$ = 90°

hay $\widehat{MCN}$ + $\widehat{HAC}$ = 90° (1)

∆ MNC vuông góc tại N ( MN là đường trung trực của BC )

=>  $\widehat{MCN}$ + $\widehat{NMC}$ = 90°

mà  $\widehat{BMN}$ = $\widehat{CMN}$

=> $\widehat{MCN}$ +$\widehat{HAC}$ = 90° (2)

Từ (1) và (2) ta có : $\widehat{HAC}$ = $\widehat{BMN}$

b) Kẻ MI ⊥ AH

         AH ⊥ BC

=> IM // BC

=> $\widehat{IMB}$ = $\widehat{MBC}$ ( 2 góc so le trong )

      $\widehat{AMI}$ = $\widehat{MCB}$ ( 2 góc đồng vị )

Mà ∆MBC cân tại M nên $\widehat{MBC}$  =  $\widehat{MBC}$ 

=> $\widehat{IMB}$ = $\widehat{AMI}$ 

Xét ∆MIK và ∆MIA cùng vuông tại I có :

MI chung

$\widehat{IMK}$ = $\widehat{AMI}$ (chứng minh trên)

=> ∆MIK = ∆MIA (góc nhọn và một cạnh góc vuông).

=> IK = IA

=> I là trung điểm của AK.