KHỞI ĐỘNG
Câu hỏi: Hình 86 minh họa chiếc cân thăng bằng và gợi nên hình ảnh đoạn thẳng AB, đường thẳng d. Đường thẳng d có mối liên hệ gì với đoạn thẳng AB?
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
I. ĐỊNH NGHĨA
Hoạt động 1: Quan sát Hình 87:
a. So sánh hai đoạn thẳng IA và IB
b. Tìm số đo của các góc $I_{1} = I_{2}$
Hướng dẫn giải:
$I_{1} = I_{2} = 90^{0}$
Luyện tập 1: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Biết $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$. Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC
Hướng dẫn giải:
Vì $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$ theo giả thiết
mà $\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^{0}$
=> $\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^{0}$ (1)
mà M là trung điểm của BC (2)
Từ (1) và (2) => AM là đường trung trực của BC
II. TÍNH CHẤT
Hoạt động 2: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc d, M khác O (Hình 90)
Chứng minh rằng:
a. $\Delta MOA = \Delta MOB$
b. MA = MB
Hướng dẫn giải:
Xét $\Delta MOA và \Delta MOB$ có:
MO chung
AO = OB
$\widehat{AOM} = \widehat{MOB}$
=> $\Delta MOA = \Delta MOB$
=> MA = MB
Luyện tập 2: Hình 91 mô tả mặt cắt đứng của một ngôi nhà với hai mái là OA và OB, mái nhà bên trái dài 3m. Tính chiều dài mái nhà bên phải biết rằng điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Hướng dẫn giải:
Gọi H là giao điểm của đường trung trực đoạn thẳng AB kẻ từ O qua AB
Vì OH là đường trung trực => AH = HB; $\widehat{OHA} = \widehat{OHB} = 90^{0}$
Xét tam giác OHA và tam giác OHA có:
AH = HB
$\widehat{OHA} = \widehat{OHB} = 90^{0}$
OH chung
$\Delta OHA = \Delta OHB$
=> OA = OB = 3m
Vậy mái nhà bên phải là 3m.
Hoạt động 3: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Giả sử M là một điểm khác O sao cho MA = MB.
a. Hai tam giác MOA và MOB có bằng nhau hay không? Vì sao?
b. Đường thẳng MO có là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay không? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
a. Hai tam giác MOA và MOB có bằng nhau vì:
OM chung
MA = MB
OA = OB (vì O là trung điểm của AB)
b. Vì hai tam giác MOA và MOB có bằng nhau => $\widehat{MOA} = \widehat{MOB} = 90^{0}$
=> MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Luyện tập 3: Cho tam giác ABC cân tại A.
a. Điểm A có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?
b. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt canh BC tại H. Đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
a. Vì ΔABC cân tại A
=> AB = AC
=> A thuộc đường trung trực của BC
b. Đường thẳng AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC vì đường thẳng AH có chứa A thuộc đường trung trực của BC.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài 1 trang 103 toán 7 tập 2 CD
Trong hình 94, đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh $\widehat{CAD} = \widehat{CBD}$
Bài 2 trang 103 toán 7 tập 2 CD
Trong hình 95 đường thẳng a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
a. AB // CD
b. $\Delta MNC = \Delta MND$
c. $\widehat{AMD} = \widehat{BMC}$
Bài 3 trang 103 toán 7 tập 2 CD
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Gọi a và b lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng AB và BC. Chứng minh rằng a//b
Bài 4 trang 103 toán 7 tập 2 CD
Cho đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M không thuộc đường thẳng d và đoạn thẳng AB sao cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng MB tại điểm I. Chứng minh: MB = AI + IM