Giải bài 5 Phép chia đa thức một biến

KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi: Trong quá trình biến đổi và tính toán những biểu thức đại số, nhiều khi ta phải thực hiện phép chia một đa thức (một biến) cho một đa thức (một biến) khác, chẳng hạn ta cần thực hiện phép chia sau: $(x^{3}+1):(x^{2}-x+1)$

Làm thế nào để thực hiện được phép chia hai đa thức một biến?

Hướng dẫn giải:

Muốn chia đa thức một biến A cho đa thức một biến (B ≠ 0) , trước hết ta phải sắp xếp các đa thức này theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến và thực hiện phép chia như phép chia các số tự nhiên. Trong đó R=0 hoặc bậc của R thấp hơn bậc của B. Nếu R=0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.

I. CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC

Hoạt động 1: Thực hiện phép tính

a) $x^{5}:x^{3}$

b) $(4x^{3}):x^{2}$

c) $(ax^{m}):(bx^{n})$ $(a\neq 0, b\neq 0; m,n \epsilon N, m \geq n)$

Hướng dẫn giải:

a) $x^{5} : x^{3}$ = $x^{5-3}$ = $x^{2}$

b) $(4x^{3}) : x^{2}$ = $4 . x^{3-2}$ = 4x

c) $\frac{a}{b} . x^{m-n}$

Luyện tập 1: Tính

a) $(3x^{6}) : (0,5x^{4})$

b) $(-12x^{m+2}) : 4x^{n+2})$ $(m, n \epsilon N; m \geq n)$

Hướng dẫn giải:

a) $(3x^{6}) : (0,5x^{4})$

= $(3 : 0.5) . (x^{6-4})$

= $6x^{2}$

b) $(-12x^{m+2}) : 4x^{n+2})$

= $(-12 : 4) . (x^{m+2-n+2})$

= $-3x^{m-n}$ 

II. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

Hoạt động 2: Tính:

$(\frac{1}{2}x^{4}-\frac{1}{4}x^{3}+x) : (-\frac{1}{8}x)$

Hướng dẫn giải:

$(\frac{1}{2}x^{4}-\frac{1}{4}x^{3}+x) : (-\frac{1}{8}x)$ = $-4x^{3}+2x-8$

Hoạt động 3: Cho đa thức P(x) = $4x^{2} + 3x$ và đơn thức Q(x) = 2x

a) Hãy chia từng đơn thức của biến x có trong đa thức P(x) cho đơn thức Q(x)

b) Hãy cộng các thương vừa tìm được

Hướng dẫn giải:

$(4x^{2} + 3x) : (2x)$ = $(4x^{2}) : (2x) + (3x) : (2x)$ = $2x + \frac{3}{2}$

Luyện tập 2: Tính

$\frac{1}{2}x^{4} - \frac{1}{4}x^{3} + x) : (\frac{-1}{8}x)$

Hướng dẫn giải:

$\frac{1}{2}x^{4} - \frac{1}{4}x^{3} + x) : (\frac{-1}{8}x)$ = $(\frac{1}{2}x^{4} : \frac{-1}{8}x) - \frac{1}{4}x^{3} : (\frac{-1}{8}x)$ + $(x : \frac{-1}{8}x)$

 = $-4x^{3} + 2x^{2} - 8$

III. CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

Hoạt động 4: Thực hiện phép chia:

a) $(2x^{2} + 5x + 2) : (2x + 1)$

b) $(3x^{3} - 5x^{2} + 2) : (x^{2} + 1)$

Hướng dẫn giải:

a) $(2x^{2} + 5x + 2) : (2x + 1) = x + 2$

b) $(3x^{3} - 5x^{2} + 2) : (x^{2} + 1) = 3x -5$

Luyện tập 3: Tính

a) $(x^{3} + 1) : (x^{2} + x +1)$

b) $(8x^{3} - 6x^{2} + 5) : (x^{2} + x + 1)$

Hướng dẫn giải:

a) $(x^{3} + 1) : (x^{2} + x +1)$ = x + 1

b) $(8x^{3} - 6x^{2} + 5) : (x^{2} + x + 1)$ = 8x + 14