Giải bài 4 Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

LT-VD 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

${{\Delta }_{1}}$: $\left\{ \begin{align}& x=1+{{t}_{1}} \\ & y=-2+{{t}_{1}} \\ \end{align} \right.$ và

${{\Delta }_{2}}$: $\left\{ \begin{align}& x=2{{t}_{2}} \\ & y=-3+2{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng  ${{\Delta }_{1}}$; ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto chỉ phương: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;1 \right)$ ;  $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 2;2 \right)$. 

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ = 2 $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$.

Chọn t₁=0 ta có điểm $M\left( 1;-2 \right)\in {{\Delta }_{1}}$ . Thay tọa độ của  $M\left( 1;-2 \right)$ vào ${{\Delta }_{2}}$ ta được:

$\left\{ \begin{align}& 1=2.{{t}_{2}} \\ & y=-2+{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 1=2.{{t}_{2}} \\ & y=-2+{{t}_{2}}\\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{t}_{2}}=\frac{1}{2} \\ & -2=-2+{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{t}_{2}}=\frac{1}{2} \\ & {{t}_{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ (vô lí)

$\Rightarrow$ $M\left( 1;-2 \right)\notin {{\Delta }_{2}}$.

Vậy ${{\Delta }_{1}}$ //${{\Delta }_{2}}$.

LT-VD 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d: x + 2y -2 = 0 với mỗi đường thẳng sau

${{\Delta }_{1}}$: 3x-2y + 6 =0

${{\Delta }_{2}}$: x + 2y + 2 = 0

${{\Delta }_{3}}$: 2x + 4y - 4 = 0

Hướng dẫn giải:

• Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và ${{\Delta }_{1}}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\ & 3x-2y+6=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\& 3x-2y+6=0 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& 4x=-4 \\& y=\frac{2-x}{2} \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-1 \\& y=\frac{3}{2} \\\end{align} \right.$

$\Rightarrow$ Hệ có nghiệm duy nhất $x=-1$ và $y=\frac{3}{2}$

Vậy d và ${{\Delta }_{1}}$ có 1 điểm chung, hay d  cắt ${{\Delta }_{1}}$ .

• Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và ${{\Delta }_{2}}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\ & x+2y+2=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\& x+2y+2=0 \\\end{align} \right.$ 

Có: $\frac{1}{1}=\frac{2}{2}\ne \frac{-2}{-4}$ $\Rightarrow$ Hệ vô nghiệm.

Vậy d và ${{\Delta }_{2}}$ không có điểm chung, tức d // ${{\Delta }_{2}}$

• Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và ${{\Delta }_{3}}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\ & 2x+4y-4=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\& 2x+4y-4=0 \\\end{align} \right.$ 

Có: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4} =\frac{-2}{-4}$ $\Rightarrow$ Hệ có vô số nghiệm.

Vậy d và ${{\Delta }_{3}}$ có vô số điểm chung, tức d $\equiv$ ${{\Delta }_{3}}$.

LT-VD 3: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ trong mỗi trường hợp sau:

a. ${{\Delta }_{1}}$ : $\left\{ \begin{align}& x=-3+3\sqrt{3}t \\& y=2+3t \\\end{align} \right.$

và ${{\Delta }_{2}}$: y - 4 = 0.

b. ${{\Delta }_{1}}$: 2x - y = 0 và ${{\Delta }_{2}}$: -x+3y - 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

a. Đường thẳng  ${{\Delta }_{1}}$; ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto chỉ phương: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 3\sqrt{3};3 \right)$ ;  $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;0 \right)$. 

$\cos \left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)=\frac{\left| 3\sqrt{3}.1+3.0 \right|}{\sqrt{{{(3\sqrt{3})}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{3}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}.3}=\frac{\sqrt{21}}{14}$.

$\widehat{\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)}\approx 70,{{9}^{o}}$

b. Đường thẳng  ${{\Delta }_{1}}$; ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 2;-1 \right)$ ;  $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( -1;3 \right)$. 

$\cos \left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)=\frac{\left| 2.(-1)+(-1).3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}.\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{5}{\sqrt{5}.\sqrt{5}}=1$

$\widehat{\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)}$ = 90^o

LT-VD 4:

a. Tính khoảng cách từ điểm O(0;0) đến đường thẳng ${{\Delta }$:

$\frac{x}{-4}+\frac{y}{2}=1$

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

${{\Delta }_{1}}$: x -y + 1 =  0 và ${{\Delta }_{2}}$: x -y + 1$ 

Hướng dẫn giải:

a. $\Delta :2x-4y+8=0$

$d\left( O;\Delta  \right)=\frac{\left| 2.0-4.0+8 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=\frac{8}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

b. Có: $\frac{1}{1}=\frac{-1}{-1}$

$\Rightarrow$ ${{\Delta }_{1}}$ // ${{\Delta }_{2}}$

Chọn M(0; 1) $\in {{\Delta }_{1}}$ 

$\Rightarrow$ $d({{\Delta }_{1}};{{\Delta }_{2}})=d(M;{{\Delta }_{2}})(M\in {{\Delta }_{1}})$

$d\left( M;{{\Delta }_{2}} \right)=\frac{\left| 0-1-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$