Giải bài 3 Nhị thức Newton

KHỞI ĐỘNG

Ở Trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển:

${{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$ ; ${{(a+b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}$

Với số tự nhiên n>3 thì công thức khai triển biểu thức ${{(a+b)}^{n}}$ sẽ như thế nào?

Hướng dẫn giải:

Có:${{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}=C_{2}^{0}{{a}^{2}}+C_{2}^{1}ab+C_{2}^{2}{{b}^{2}}$

${{(a+b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}=C_{3}^{0}{{a}^{3}}+C_{3}^{1}{{a}^{2}}b+C_{3}^{2}a{{b}^{2}}+C_{3}^{3}{{b}^{3}}$

$\Rightarrow {{(a+b)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+...+C_{n}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}a{{b}^{n}}$

Khám phá 1

a. Xét công thức khai triển ${{(a+b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}$

i. Liệt kê các số hạng của khai triển trên

ii. Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

iii. Tính giá trị của $C_{3}^{0};C_{3}^{1};C_{3}^{2};C_{3}^{3}$ (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b. Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của ${{(a+b)}^{4}}$.

${{(a+b)}^{4}}=(a+b).{{(a+b)}^{3}}=?=?{{a}^{4}}+?{{a}^{3}}b+?{{a}^{2}}{{b}^{2}}+?a{{b}^{3}}+ ?{{b}^{4}}$

Tính giá trị của $C_{4}^{0};C_{4}^{1};C_{4}^{2};C_{4}^{3}; C_{4}^{4}$ rồi so sánh với các hệ số của khai triển trên.

Từ đó, hãy sử dụng các kí hiệu $C_{4}^{0};C_{4}^{1};C_{4}^{2};C_{4}^{3}; C_{4}^{4}$.

c. Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của ${{(a+b)}^{5}}$ . Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Hướng dẫn giải:

a.

i. Các số hạng của khai triển trên là: ${{a}^{3}}$; $3{{a}^{2}}b$; $3a{{b}^{2}}$; ${{b}^{3}}$.

ii. Các hệ số của khai triển trên: 1; 3; 3; 1

iii. $C_{3}^{0}=1;C_{3}^{1}=3;C_{3}^{2}=3;C_{3}^{3}=1$

b. ${{(a+b)}^{4}}=(a+b).{{(a+b)}^{3}}={{(a+b)}^{4}}=1{{a}^{4}}+4{{a}^{3}}b+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}+4a{{b}^{3}}+1{{b}^{4}}$

$C_{4}^{0}=1;C_{4}^{1}=4;C_{4}^{2}=6;C_{4}^{3}=4; C_{4}^{3}=4$

$\Rightarrow$ Giá trị của $C_{4}^{0};C_{4}^{1};C_{4}^{2};C_{4}^{3}; C_{4}^{4}$ lần lượt bằng với các hệ số của khai triển trên.

$\Rightarrow$ ${{(a+b)}^{4}}= C_{4}^{0}{{a}^{4}}+C_{4}^{1}{{a}^{3}}b+C_{4}^{2}{{a}^{2}}{{b}^{2}}+C_{4}^{3}a{{b}^{3}}+C_{4}^{4}{{b}^{4}}$

c. Dự đoán: 

${{(a+b)}^{5}}=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+C_{5}^{1}{{a}^{4}}b+C_{5}^{2}{{a}^{3}}{{b}^{2}}+C_{5}^{3}{{a}^{2}}{{b}^{3}}+C_{5}^{4}a{{b}^{4}}+C_{5}^{5}{{b}^{5}}$

Thực hành 1. Khai triển các biểu thức sau:

a. ${{(x-2)}^{4}}=C_{4}^{0}{{x}^{4}}+C_{4}^{1}{{x}^{3}}.2+C_{4}^{2}{{x}^{2}}{{.2}^{2}}+C_{4}^{3}x{{.2}^{3}}+C_{4}^{4}{{2}^{4}}$

$={{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}+32x+16$

b. ${{(x+2y)}^{5}}=C_{5}^{0}{{x}^{5}}+C_{5}^{1}{{x}^{4}}.(2y)+C_{5}^{2}{{x}^{3}}.{{(2y)}^{2}}+C_{5}^{3}{{x}^{2}}.{{(2y)}^{3}}+C_{5}^{4}.x.{{(2y)}^{4}}+C_{5}^{5}{{(2y)}^{5}}$

$={{x}^{5}}+10{{x}^{4}}.y+40{{x}^{3}}.{{y}^{2}}+80{{x}^{2}}{{y}^{3}}+80x.{{y}^{4}}+32{{y}^{5}}$

Thực hành 2. Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng:

a. $C_{4}^{0}+2C_{4}^{1}+{{2}^{2}}C_{4}^{2}+{{2}^{3}}C_{4}^{3}+{{2}^{4}}C_{4}^{4}=81$ (a)

b. $C_{4}^{0}-2C_{4}^{1}+{{2}^{2}}C_{4}^{2}-{{2}^{3}}C_{4}^{3}+{{2}^{4}}C_{4}^{4}=1$ (b)

Hướng dẫn giải:

a. Có: VT(a) = $C_{4}^{0}{{.1}^{4}}+C_{4}^{1}{{.1}^{3}}.2+C_{4}^{2}{{.1}^{2}}{{.2}^{2}}+C_{4}^{3}{{.1}^{2}}{{.2}^{3}}+C_{4}^{4}{{.2}^{4}}$ 

$={{(1+2)}^{4}}$ = 81 = VP(a)

b. Có: $=C_{4}^{0}{{.1}^{4}}+C_{4}^{1}{{.1}^{3}}.(-2)+C_{4}^{2}{{.1}^{2}}.{{(-2)}^{2}}+C_{4}^{3}.1.{{(-2)}^{3}}+C_{4}^{4}.{{(-2)}^{4}}$

$={{(1-2)}^{4}}$  = 1 = VP(b)

Vận dụng: Trên quầy còn 4 vé sổ xố khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Hướng dẫn giải:

• TH1: Không mua vé nào

$\Rightarrow$ $C_{4}^{0}$ = 1 (cách)

• TH2: Mua 1 vé

$\Rightarrow$ Chọn mua 1 vé bất kì trong 4 vé xổ số là một tổ hợp chập 1 của 4 vé $\Rightarrow$ Có $C_{4}^{1}$ = 4 (cách)

• TH3: Mua 2 vé

$\Rightarrow$ Chọn mua 2 vé bất kì trong 4 vé xổ số là một tổ hợp chập 2 của 4 $\Rightarrow$ Có $C_{4}^{2}$ = 6 (cách)

• TH4: Mua 3 vé

$\Rightarrow$ Chọn mua 3 vé bất kì trong 4 vé xổ số là một tổ hợp chập 3 của 4 $\Rightarrow$ Có $C_{4}^{3}$ = 4 (cách)

• TH5: Mua 4 vé

$\Rightarrow$ Chọn mua 4 vé bất kì trong 4 vé xổ số là một tổ hợp chập 4 của 4 $\Rightarrow$ Có $C_{4}^{4}$ = 1 (cách)

$\Rightarrow$ Áp dụng quy tắc cộng: 4 + 6 + 4 + 1 = 15 (cách)