[KNTT] Giải bài 25 Đa thức một biến

Giải bài 25: Đa thức một biến - sách kết nối tri thức với cuộc sống toán 7 tập 2. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài học..

1. ĐƠN THỨC MỘT BIẾN

Câu hỏi 1: Cho biết hệ số và bậc của mỗi phương trình sau:

a) $2x^6$;         

b) $\frac{-1}{5}x^2$;           

c) -8;                 

d) 3^2x.

Hướng dẫn giải:

a) $2x^6$

• Hệ số: 2
• Bậc: 6

b) $\frac{-1}{5}x^2$

• Hệ số: $\frac{-1}{5}$
• Bậc: 2

c) -8

• Hệ số: -8
• Bậc: 0

d) $3^2x$

• Hệ số: $3^2$
• Bậc: 1

Câu hỏi 2: Khi nhân một đơn thức bậc 3 với một đơn thức bậc 2, ta được đơn thức bậc mấy?

Hướng dẫn giải:

• Đơn thức bậc 3.

Luyện tập 1: Tính:

a) $5x^3 + x^3$;

b) $\frac{7}{4}x^5 – \frac{3}{4}x^5$

c) $(-0,25x^2).(8x^3)$

Hướng dẫn giải:

a) $5x^3 + x^3 = (5 + 1)x^3 = 6x^3$

b) $\frac{7}{4}x^5 – \frac{3}{4}x^5 = (\frac{7}{4} + \frac{3}{4})x^5 = \frac{5}{2}x^5$

c) $(-0,25x^2).(8x^3) = (-0,25 . 8) (x^2.x^3) = -2x^5$

2. KHÁI NIỆM ĐA THỨC MỘT BIẾN

Câu hỏi 3: Mỗi số thực có phải đa thức không? Tại sao?

Hướng dẫn giải:

Mỗi số thực không phải là đa thức. Bởi vì nó không có biến.

Luyện tập 2: Hãy liệt kê các hạng tử của đa thức $B = 2x^4 – 3x^2 + x + 1$

Hướng dẫn giải:

Đa thức $B$ có 4 hạng tử: $2x^4$ ; $–3x^2$; $x$ và $1$

3. ĐA THỨC MỘT BIẾN THU GỌN

Luyện tập 3: Thu gọn đa thức $P = 2x^3 + 5x^2 + 4x^3 + 4x + 9 + x$

Hướng dẫn giải:

P = $2x^3 + 5x^2 + 4x^3 + 4x + 9 + x$

   = $(2x^3 + 4x^3)  -5x^2 + (4x + x) + 9$

   = $6x^3 – 5x^2 + 5x + 9$

4. SẮP XẾP ĐA THỨC MỘT BIẾN

Luyện tập 4: Thu gọn (nếu cần) và sắp xếp mỗi đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến:

a) $A = 3x – 4x^4 + x^3$;

b) $B = -2x^3 – 5x^2 + 2x^3 + 4x + x^2 – 5$

c) $C = x^5 -  \frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{4}x – x^5 + 6x^2 – 2$

Hướng dẫn giải:

a) $A = 3x – 4x^4 + x^3$

        $= -4x^4 + x^3 + 3x$

b) $B = -2x^3 – 5x^2 + 2x^3 + 4x + x^2 – 5$

       $= (-2x^3 + 2x^3) + (-5x^2 + x^2) + 4x – 5$

       $= -4x^2 + 4x – 5$

c) $C = x^5 - \frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{4}x – x^5 + 6x^2 – 2$

       $= (x^5 – x^5) - \frac{1}{2}x^3 + + 6x^2  + \frac{3}{4}x - 2$

       $= \frac{1}{2}x^3 + + 6x^2  + \frac{3}{4}x - 2$

5. BẬC VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA MỘT ĐA THỨC

Xét đa thức $P = -3x^4 + 5x^2 - 2x + 1$. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức $P$ và trả lời các câu hỏi sau:

Hoạt động 1: Trong $P$, bậc của hạng tử $5x^2$ là 2 (số mũ của $x^2$). Hãy xác định bậc của các hạng tử trong $P$.

Hướng dẫn giải:

Bậc của hạng tử $-3x^4$ là 4.

Bậc của hạng tử $5x^2$ là 2.

Bậc của hạng tử $2x$ là 1.

Bậc của hạng tử 1 là 0.

Hoạt động 2: Trong $P$, hạng tử nào có bậc cao nhất? Tìm hệ số và bậc của hạng tử đó.

Hướng dẫn giải:

Trong $P$, hạng tử $-3x^4$ có bậc cao nhất.

=> Hạng tử $-3x^4$ có hệ số là –3 và bậc là 4.

Hoạt động 3: Trong $P$, hạng tử nào có bậc bằng 0?

Hướng dẫn giải:

Trong $P$, hạng tử 1 có bậc là 0.

Luyện tập 5: Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

a) $5x^2 – 2x + 1 – 3x^4$;                             

b) $1,5x^2 – 3,4x^4 + 0,5x^2 – 1$.

Hướng dẫn giải:

a) $5x^2 – 2x + 1 – 3x^4$

• Hạng tử có bậc cao nhất là $-3x^4$, bậc của nó là 4, hệ số là -3
• Hệ số tự do là 1.

b) $1,5x^2 – 3,4x^4 + 0,5x^2 – 1$.

• Hạng tử có bậc cao nhất là $-3,4x^4$, bậc của nó là 4, hệ số là -3,4
• Hệ số tự do là -1.

6. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

Xét đa thức $G(x) = x^2 – 4$. Giá trị của biểu thức $G(x)$ tại $x = 3$ còn gọi là giá trị của đa thức $G(x)$ tại $x = 3$ và được kí hiệu là $G(3)$. Như vậy, ta có $G(3) = 3^2 - 4 = 5$.

Hoạt động 1: Tìm các gá trị $G(-2); G(-1); G(0); G(1); G(2).$

Hướng dẫn giải:

• $G(-2) = (-2)^2 - 4 = 0$
• $G(-1) = (-1)^2 - 4 = -3$
• $G(0) = (0)^2 - 4 = -4$
• $G(1) = (1)^2 - 4 = -3$
• $G(2) = (2)^2 - 4 = 0$

Hoạt động 2: Với giá trị nào của x thì $G(x)$ có giá trị bằng 0?

Hướng dẫn giải:

Theo hoạt động 1, với giá trị $x = 2$ và $x = -2$ thì $G(x) = 0$.

Luyện tập 6:

1. Tính giá trị của đa thức $F(x) = 2x^2 - 3x - 2$ tại $x = -1; x = 0; x = 1; x = 2$. Từ đó hãy tìm một nghiệm của đa thức $F(x)$.

2. Tìm nghiệm của đa thức $E(x) = x^2 + x$.

Hướng dẫn giải:

1. Tính giá trị:

• $F(-1) = 3$
• $F(0) = -2$
• $F(1) = -3$
• $F(2) = 0$

=> Một nghiệm của đa thức $F(x)$ là 2.

2. Tìm nghiệm của đa thức $E(x) = x^2 + x$.

$E(0) = 0$

=> Nghiệm của đa thức $E(x)$ là 0

Vận dụng: Trở lại bài toán mở đầu, hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức $H(x) = -5x^2 + 15x$.

b) Tại sao $x = 0$ là một nghiệm của đa thức H(x)? Kết quả đó nói lên điều gì?

d) Tính giá trị của $H(x)$ khi $x = 1; x = 2 và x = 3$ để tìm nghiệm khác 0 của H(x). Nghiệm ấy có ý nghĩa gì? Từ đó hãy trả lời câu hỏi của bài toán.

Hướng dẫn giải:

a) Trong đa thức $H(x)$, hạng tử $-5x^x$ có bậc cao nhất.

=> Hạng tử $-3x^4$ có hệ số là –5 và bậc là 2.

  - Hệ số tự do trong đa thức $H(x)$ là 0.

b) $x = 0$ là một nghiệm của đa thức $H(x)$vì tại $x = 0$, đa thức ta được giá trị của $H(x)$ bằng 0.

=> Kết quả đó nói lên: 0 là một nghiệm của đa thức $H(x)$ => $H(0) = 0$.

c) $H(1) = -5 . 1^2 + 15 . 1 = 10$

    $H(2) =-5 . 2^2 + 15 . 2 = 10$

    $H(3) = -5 . 3^2 + 15 . 3 = 0$

=> Kết luận:

• Khi ném vật từ một điểm trên mặt đất sau thời gian là 1 giây, thì độ cao của vật là 10m.
• Khi ném vật từ một điểm trên mặt đất sau thời gian là 2 giây, thì độ cao của vật là 10m.
• Khi ném vật từ một điểm trên mặt đất sau thời gian là 3 giây, thì vật rơi xuống mặt đất (0m).