Bài học với nội dung kiến thức về Nguyên hàm. Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Trắc nghiệm Online sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.
A. Tổng hợp kiến thức
I. Khái niệm
- Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b].
- F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b].
=> Hiệu số F(b) - F(a) gọi là tích phân từ a -> b .
Ký hiệu: $\int_{a}^{b}f(x)dx$ với a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
Công thức tổng quát
| $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ |
Chú ý:
Với $a=b$ hoặc $a>b$, ta quy ước:
- $\int_{a}^{b}f(x)dx=0$
- $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$
==> Ý nghĩa hình học của tích phân
- Ta nói $\int_{a}^{b}f(x)dx$ là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng $x=a$ và $x=b$.
| $S=\int_{a}^{b}f(x)dx$ |
II. Tính chất của tích phân
Tính chất 1
| $\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$ |
Tính chất 2
| $\int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$ |
Tính chất 3
| $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$ |
III. Phương pháp tính tích phân
- Phương pháp đổi biến số
- Phương pháp tính tích phân từng phần
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1:Trang 112 - sgk giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a) $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{(1-x)^{2}}dx$
b) $\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}\sin (\frac{\prod }{4}-x) dx$
c) $\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x(x+1)} dx$
d) $\int_{0}^{2}x(x+1) ^{2}dx$
e) $\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx$
g) $\int_{-\frac{\prod} {2}}^{\frac{\prod}{2}}\sin 3xcos 5xdx$
Câu 2:Trang 112 - sgk giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a) $\int_{0}^{2}\left | 1-x \right | dx$
b) $\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}\sin^{2}xdx$
c) $\int_{0}^{\ln 2}\frac{e^{2x+1+1}}{e^{x}} dx$
d) $\int_{0 }^{\prod}\sin 2x\cos^{2}xdx$
Câu 3: Trang 113 - sgk giải tích 12
Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:
a) $\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx$ đặt $u=x+1$
b) $\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}} dx$ đặt $x=\sin t$
c) $\int_{0}^{1}\frac{e^{x}(1+x)}{1+xe^{x}} dx$ đặt $u=1+xe^{x}$
d) $\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx$, $(a>0)$ đặt $x=a\sin t$
Câu 4:Trang 113 - sgk giải tích 12
Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:
a) $\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}(x+1)\sin xdx$
b) $\int_{1}^{e}x^{2}\ln xdx$
c) $\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx$
d) $\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{-x}dx$
Câu 5:Trang 113 - sgk giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a) $\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx$
b) $\int_{0}^{\frac{1}{2}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}}dx$
c) $\int_{1}^{2}\frac{\ln (1+x)}{x^{2}}dx$
Câu 6:Trang 113 - sgk giải tích 12
Tính $\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx$ bằng hai cách:
a) Đổi biến số $u=1-x$
b) Tích phân từng phần.
Phần tham khảo mở rộng
Dạng 1: Tính tích phân dùng phương pháp đồng nhất hệ số với phân thức có mẫu ở dạng tích
Dạng 2: Tính tích phân của những phân thức có bậc tử và bậc mẫu chênh lệch lớn.
Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp đưa về các phân thức có mẫu số là biểu thức bình phương
Dạng 4: Tính tích phân của phân thức có bậc của tử số lớn hơn bậc mẫu số.