Giải bài 1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

KHỞI ĐỘNG

Đường thẳng d: y = x + 1 chia mặt phẳng tọa độ thành hai miền (không tính đường thẳng d) như hình bên. Dùng các nhãn dưới đây đặt vào miền phù hợp để đặt tên cho miền đó.

Hướng dẫn giải:

1. KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Khám phá 1: Bạn Nam để dành được 700 nghìn đồng. Trong một đợt ủng hộ các bạn học sinh ở vùng bị bão lụt, Nam đã ủng hộ x tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng, y tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng từ tiền để dành của mình.

a. Biểu diễn tổng số tiền đã ủng hộ theo x và y.

b. Giải thích tại sao ta lại có bất đẳng thức 20x + 50y $\leq$ 700.

Hướng dẫn giải:

a. 20x + 50y.

b. 20x + 50y là tổng số tiền bạn Nam đã ủng hộ. Vì Nam để dành được 700 nghìn đồng nên tổng số tiền Nam ủng hộ chỉ có thể nhỏ hơn hoặc bằng 700 nghìn.

Thực hành 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a. 2x - 3y + 1 $\leq$ 0;

b. x - 3y + 1 $\geq$ 0;

c. y - 5 > 0;

d. x - $y^{2}$ + 1 > 0

Hướng dẫn giải:

• Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn là a, b, c
• Bất phương trình d không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa $y^{2}$

2. NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Khám phá 2: Trường hợp nào sau đây thỏa mãn tình huống được nêu trong Khám phá 1?

• Trường hợp 1: Nam ủng hộ 2 tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng và 3 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng.
• Trường hợp 2: Nam ủng hộ 15 tờ tiền có mệnh giá 20 nghìn đồng và 10 tờ tiền có mệnh giá 50 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải:

Trường hợp 1 thỏa mãn tình huống nêu trong Khám phá 1. Vì: 2. 20 + 3. 50 = 190 < 700

Thực hành 2: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 4x - 7y - 28 $\geq$ 0?

a. (9; 1)                    b. (2; 6)                    c. (0; - 4)

Hướng dẫn giải:

a. Vì 4. 9 - 7. 1 - 28 = 1 > 0 nên (9; 1) là nghiệm của bất phương trình.

b. Vì 4. 2 + 7. 6 - 28 = 22 > 0 nên (2; 6) là nghiệm của bất phương trình.

c. Vì 4. 0 - 7. (-4) - 28 0 nên (0; - 4) là nghiệm của bất phương trình.

Vận dụng 1: Cho biết mỗi 100g thịt bò chứa khoảng 26,1 g protein, một quả trứng nặng 44g chứa khoảng 5,7g protein. Giả sử có một người mỗi ngày cần không quá 60g protein. Gọi số gam thịt bò và số quả trứng mà người đó ăn trong một ngày lần lượt là x và y.

a. Lập bất phương trình theo x, y diễn tả giới hạn về lượng protein trong khẩu phần ăn hàng ngày của người đó.

b. Dùng bất phương trình ở câu a) để trả lời hai câu hỏi sau:

• Nếu người đó ăn 150g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44g) trong một ngày thì có phù hợp không?
• Nếu người đó ăn 200g thịt bò và 2 quả trứng (mỗi quả 44g) trong một ngày thì có phù hợp không?

Hướng dẫn giải:

a. 26,1x + 5,7y $\leq$ 60

b. 

• Vì 26,1. 1,5 + 5,7. 2 = 50,55 < 60 nên khẩu phần ăn 150 g thịt bò và 2 quả trứng là phù hợp.
• Vì 26,1. 2 + 5.7. 2 = 63,6 > 60 nên khẩu phần 200 g thịt bò và 2 quả trứng là không phù hợp.

3. BIỀU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Khám phá 3: Cho bất phương trình 2x - y + 1 < 0.

a. Vẽ đường thẳng y = 2x + 1.

b. Các cặp số (-2; 0), (0; 0), (1; 1) có là nghiệm của bẩt phương trình đã cho không?

Hướng dẫn giải:

a.

b.

• Có: 2. (-2) - 0 + 1 = -3 < 0 nên (-2; 0) là nghiệm của bất phương trình 2x - y + 1 < 0
• Có: 2. 0 - 0 + 1 = 1 > 0 nên (0; 0) không là nghiệm của bất phương trình 2x - y + 1 < 0
• Có: 2. 1 - 1 + 1 = 2 > 0 nên (1; 1) không là nghiệm của bất phương trình 2x - y + 1 < 0

Thực hành 3: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau:

a. 2x + y - 2 $\leq$ 0;

b. x - y - 2 $\geq$ 0.

Hướng dẫn giải:

a. Vẽ đường thẳng d: 2x + y - 2 = 0 đi qua hai điểm A(0; 2) và B(1; 0).

Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O $\notin$ d và 2.0 +0 - 2 = -2 < 0. Do đó, miền nghiệm của bât phương trình 2x + y - 2 $\leq$ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ d, chứa gốc tọa độ O (miền không tô xanh trong hình).

b. Vẽ đường thẳng d': x - y - 2 = 0 đi qua hai điểm A(0; -2) và B(2; 0).

Xét gốc tọa độ O(0;0). Ta thấy O $\notin$ d' và 0 - 0 - 2 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x - y - 2 $\geq$ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ d', không chứa gốc tọa độ O (miền không tô xanh trong hình).

Vận dụng 2: Biểu diễn miền nghiệm của hai bất phương trình sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy:

a. y $\geq$ 2;

b. x $\leq$ 4.

Hướng dẫn giải:

a. Vẽ đường thẳng f: y = 2. Miền nghiệm của bất phương trình y $\geq$ 2 là nửa mặt phẳng kể cả bờ f, không chứa gốc tọa độ O. 

b. Vẽ đường thẳng f': x = 4. Miền nghiệm của bất phương trình x $\leq$ 4 là nửa mặt phẳng kể cả bờ f', chứa gốc tọa độ O.