7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những nội dung rất quan trọng không chỉ ở cấp 2, mà còn áp dụng vào chương trình cấp 3 và cả đại học. Việc nắm vững, nhận dạng, để vận dụng vào bài toán là một nhu cầu rất cần thiết khi học chương 1 Đại số 8 cho tất cả học sinh phổ thông. Chính vì vậy, các bạn nên học thuộc lòng, ôn tập hằng đẳng thức để dễ dàng áp dụng nhé.
7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Bình phương của một tổng : ( a + b )² = a² + 2ab + b²
Bình phương của một hiệu : ( a – b )² = a² – 2ab + b²
Hiệu hai bình phương : a² – b² = ( a + b ) (a – b )
Lập phương của một tổng : ( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Lập phương của một hiệu : ( a – b )³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Tổng hai lập phương : a³ + b³ = ( a + b ) ( a² – ab + b² )
Hiệu hai lập phương : a³ – b³ = ( a – b ) ( a² + ab + b² )
Phát biểu bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dễ thuộc nhất
- Bình phương của 1 tổng sẽ bằng bình phương của số thứ 1 cộng với hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai cộng bình phương số thứ hai
- Bình phương của 1 hiệu sẽ bằng bình phương của số thứ 1 trừ 2 lần tích số thứ nhất với số thứ 2 cộng với bình phương số thứ 2
- Hiệu của 2 bình phương sẽ bằng tích của tổng 2 số với hiệu 2 số
- Lập phương của 1 tổng sẽ bằng với lập phương số thứ 1 + 3 lần tích bình phương số thứ 1 với số thứ 2 + 3 lần tích số thứ 1 với bình phương số thứ 2 + lập phương số thứ 2
- Lập phương của 1 tổng sẽ bằng với lập phương số thứ 1 -3 lần tích bình phương số thứ 1 với số thứ 2 + 3 lần tích số thứ 1 với bình phương số thứ 2 – lập phương số thứ 2
- Tổng hai lập phương sẽ bằng tích giữa tổng 2 số với bình phương thiếu của 1 hiệu
- Hiệu của 2 lập phương sẽ bằng với tích giữa hiệu hai số với bình phương thiếu của 1 tổng
Bình phương của một tổng
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Bình phương của một tổng bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai
Bình phương của một hiệu
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân số thứ hai sau đó cộng bình phương với số thứ hai.
Hiệu hai bình phương
a² – b² = (a – b)(a + b)
Hiệu hai bình phương của hai số bằng tổng hai số đó nhân với hiệu hai số đó.
Lập phương của một tổng
(a + b)³ = A³ + 3a²b + 3ab² + b³
Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai cộng với lập phương số thứ hai.
Lập phương của một hiệu
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai trừ đi lập phương số thứ hai
Tổng hai lập phương
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b² )
Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó
Hiệu hai lập phương
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.
Hệ quả hằng đẳng thức
Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2
( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
( a + b – c )² = a² + b² + c² + 2ab – 2ac – 2bc
( a – b – c )² = a² + b² + c² – 2ab – 2ac + 2bc
Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3
a³ + b³ = ( a + b )³ – 3ab( a + b)
a³ – b³ = ( a – b )³ + 3ab( a – b )
( a + b + c )³ = a³ + b³ + c³ + 3( a + b )( a + c )( b + c )
a³ + b³ + c³ – 3abc = ( a + b + c )( a² + b² + c² – ab – bc – ac )
( a – b )³ + ( b – c )³ + ( c – a )³ = 3( a – b )( b – c )( c – a )
( a + b )( b + c )( c + a ) – 8abc = a( b – c )² + b( c – a )² + c( a – b )²
( a + b )( b + c )( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) – abc
Hệ quả tổng quát
Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức
Một số lưu ý về hằng đẳng thức
Lưu ý: a và b có thể là dạng chữ (đơn phức hoặc đa phức) hay a,b là một biểu thức bất kỳ. Khi áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào bài tập cụ thể thì điều kiện của a, b cần có để thực hiện làm bài tập dưới đây:
- Biến đổi các hằng đẳng thức chủ yếu là sự biến đổi từ tổng hay hiệu thành tích giữa các số, kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cần phải thành thạo thì việc áp dụng các hằng đẳng thức mới có thể rõ ràng và chính xác được.
- Để có thể hiểu rõ hơn về bản chất của việc sử dụng hằng đẳng thức thì khi áp dụng vào các bài toán, bạn có thể chứng minh sự tồn tại của hằng đẳng thức là đúng đắn bằng cách chuyển đổi ngược lại và sử dụng các hằng đẳng thức liên quan đến việc chứng minh bài toán.
- Khi sử dụng hằng đẳng thức trong phân thức đại số, do tính chất mỗi bài toán bạn cần lưu ý rằng sẽ có nhiều hình thức biến dạng của công thức nhưng bản chất vẫn là những công thức ở trên, chỉ là sự biến đổi qua lại sao cho phù hợp trong việc tính toán.
Bài tập áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài tập 1: Với a và b là hai số bất kì, thức hiện phép tính (a + b)(a + b).
Đáp án
(a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)
= a2 + ab + ba + b2
= a2 + 2ab + b2
Bài tập 2 : Tính [a + (-b)]2 (với a, b là các số tùy ý).
Đáp án:
Ta áp dụng hằng đẳng thức 1 ta có như sau:
[ a + (-b)]² = a² + 2.a.(-b) + ( -b)² = a² – 2ab + b² .
Ví dụ 3: Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0
Đáp án:
x² (x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x² (x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2
Như vây, chúng ta vừa tìm hiểu xong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, đây cũng chính là công thức quan trọng giúp các bạn áp dụng công thức vào bài tập dễ dàng hơn. Trắc nghiệm Online mong muốn rằng, bài viết này sẽ mang lại những kiến thức bổ ích cho các bạn, giúp đỡ các bạn trong kỳ thi sắp tới.
Xem thêm: Điểm sàn là gì? Cách tính điểm thi đại học đơn giản nhất
