Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Khi đó O là trung điểm của AC và BD, đồng thời BO là trung tuyến của ΔABC.
=> $BO^{2}=\frac{2(AB^{2}+BC^{2})-AC^{2}}{4}=\frac{2(a^{2}+b^{2})n^{2}}{n}$
Mặt khác : $BO=\frac{1}{2}BD<=>BO^{2}=\frac{1}{4}BD^{2}=\frac{m^{2}}{4}$
=> $\frac{m^{2}}{4}=\frac{2(a^{2}+b^{2})n^{2}}{n}$
<=> $m^{2} + n^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$ (đpcm)