- Ta có: $A$ là giao của hai đường thẳng $AB;AH$ nên tọa độ đỉnh \(A\) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ ta được: \(\Rightarrow A({5 \over 2},\;2)\)
Đường thẳng \(BH : 5x – 4y – 15 = 0\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (4;5)\)
Cạnh \(AC\) vuông góc với \(BH\) nên $AC$ nhận vecto u làm một vecto pháp tuyến, \(AC\) đi qua \(A({5 \over 2};2)\).
Phương trình $AC$ có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow u = (4;5)\), đi qua \(A({5 \over 2};2)\) là:
\(4.(x - {5 \over 2}) + 5(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y - 20 = 0\)
- Tương tự, $B$ là giao của hai đường thẳng $AB;BH$ nên tọa độ đỉnh \(B\) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
6x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr} \right. \)
Giải hệ ta được: \(\Rightarrow B(3;0)\)
Ta có: \(AH: 2x + 2y – 9 = 0\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow v = ( - 2;2) = 2( - 1;1)\).
Vì: \(BC\) vuông góc với \(AH\) nên $BC$ nhận vecto \(\overrightarrow {v'} = ( - 1;1)\) làm vecto pháp tuyến.
Phương trình \(BC\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {v'} = ( - 1;1)\) và đi qua điểm $B(3;0)$ là:
\( - 1(x - 3) + (y - 0) = 0 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0\)
- Ta có: $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $AH,BH$ nên tọa độ \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
5x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \)
Giải hệ ta được: \(\Leftrightarrow H({{11} \over 3};{5 \over 6})\)
Đường cao \(CH\) đi qua \(H\) và vuông góc với \(AB\)
Hoàn toàn tương tự, ta viết được phương trình của \(CH\):
\(CH: 3x – 12y – 1= 0\)