Giải câu 6 bài: Ôn tập chương I: Khối đa diện.
Hướng dẫn vẽ hình
- Bước 1: Vẽ hình chóp đều SABC , lưu ý vẽ đáy là tam giác trước, xác định tâm và từ điểm đó dựng đường thẳng vuông góc với (ABC) sau đó lấy điểm S.
- Bước 2: Vẽ mặt phẳng qua BC vuông góc với SA bằng cách dựng $BD \perp SA \Rightarrow CD \perp SA$
Giải:
a) Vì hình chóp S.ABC là hình chóp đều nên chân đường cao H là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy hay $SH \perp (ABC)$.
$\Rightarrow \widehat{(SA, (ABC))}=\widehat{(SA,AH)}=\widehat{SAH}=60^{0}$.
Gọi M là trung điểm của BC thì AM là đường cao của tam giác đều ABC.
$AM=\frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow AH=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
$\Rightarrow SA=\frac{AH}{\cos 60^{0}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Do $(DBC) \perp SA \Rightarrow DM \perp SA \Rightarrow AD=AM.\cos 60^{0}=\frac{a \sqrt{3}}{4}$
$\Rightarrow SD=SA-AD=\frac{5a\sqrt{3}}{12}$
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta được
$\frac{V_{S.DBC}}{V_{S.ABC}}=\frac{SD}{SA}.\frac{SB}{SB}.\frac{SC}{SC}=\frac{5a \sqrt{3}}{12}: \frac{2a \sqrt{3}}{3}=\frac{5}{8}$.
b) Ta có $S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}, SH=AH. \tan 60^{0}=a$
$\Rightarrow V_{SABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$.
$\Rightarrow V_{S.DBC}=\frac{5}{8}V_{S.ABC}=\frac{5a^{3}\sqrt{3}}{96}$