Giải câu 6 bài: Ôn tập chương I: Khối đa diện

Giải câu 6 bài: Ôn tập chương I: Khối đa diện.

Hướng dẫn vẽ hình

• Bước 1: Vẽ hình chóp đều SABC , lưu ý vẽ đáy là tam giác trước, xác định tâm và từ điểm đó dựng đường thẳng vuông góc với (ABC) sau đó lấy điểm S.
• Bước 2: Vẽ mặt phẳng qua BC vuông góc với SA bằng cách dựng $BD\perp SA\Rightarrow CD\perp SA$

Giải:

a) Vì hình chóp S.ABC là hình chóp đều nên chân đường cao H là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy hay $SH\perp (ABC)$.

$\Rightarrow \widehat{(SA,(ABC))}=\widehat{(SA,AH)}=\widehat{SAH}={60}^0$.

Gọi M là trung điểm của BC thì AM là đường cao của tam giác đều ABC.

$AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

$\Rightarrow SA=\frac{AH}{\cos {60}^0}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

Do $(DBC)\perp SA\Rightarrow DM\perp SA\Rightarrow AD=AM.\cos {60}^0=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow SD=SA-AD=\frac{5a\sqrt{3}}{12}$

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta được 

$\frac{V_{S.DBC}}{V_{S.ABC}}=\frac{SD}{SA}.\frac{SB}{SB}.\frac{SC}{SC}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}:\frac{2a\sqrt{3}}{3}=\frac{5}{8}$.

b) Ta có $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},SH=AH.\tan {60}^0=a$

$\Rightarrow V_{SABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.

$\Rightarrow V_{S.DBC}=\frac{5}{8}{V}_{S.ABC}=\frac{5a^3\sqrt{3}}{96}$