1. QUY TẮC CỘNG VÀ SƠ ĐỒ HÌNH CÂY
Hoạt động 1: Chọn chuyến đi
Từ Hà Nội vào Vinh mỗi ngày có 7 chuyến tàu hỏa và 2 chuyến máy bay. Bạn An muốn ngày Chủ nhật này đi từ Hà Nội vào Vinh bằng tàu hỏa hoặc máy bay. Hỏi bạn An có bao nhiêu cách chọn chuyến đi?
Hướng dẫn giải:
Bạn An có thể chọn đi tàu hỏa có 7 cách chọn hoặc đi máy bay có 2 cách chọn. Vậy bạn An có 9 cách chọn chuyến đi.
Hoạt động 2: Chọn vé tàu
Bạn An đã quyết định mua vé tàu đi từ Hà Nội vào Vinh trên chuyến tàu SE7. Trên tàu có các toa ghế ngồi và các toa giường nằm Toa ngồi có hai loại vé: ngồi cứng và ngồi mềm. Toa nằm có loại khoang 4 giường và khoang 6 giường. Khoang 4 giường có hai loại vé: tầng , tầng 2 và tầng 3. Hỏi:
a. Có bao nhiêu loại vé ghế ngồi và bao nhiêu loại vé giường nằm?
b. Có bao nhiêu loại vé để bạn An lựa chọn?
Hướng dẫn giải:
a. Số loại vé ghế ngồi: 2
Số loại vé ghế nằm: 5
b. Số loại vé để An lựa chọn: 2 + 5 = 7.
Luyện tập 1: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 30 mà không nguyên tố cùng nhau với 35?
Hướng dẫn giải:
Ta có: 35= 5.7
Các số là bội của 5 mà nhỏ hơn 30 là: 5, 10, 15, 20, 25.
Các số là bội của 7 mà nhỏ hơn là: 7, 14, 21, 28.
Vậy số các số từ 1 đến 30 mà không nguyên tố cùng nhau với 35 là: 5 + 4 = 9.
2. QUY TẮC NHÂN
Hoạt động 3: Thầy Trung muốn đi từ Hà Nội vào Huế, rồi từ Huế vào Quảng Nam. Biết rằng từ Hà Nội vào Huế có thể đi bằng 3 cách: ô tô, tàu hỏa hoặc máy bay. Còn từ Huế vào Quảng Nam có thể đi bằng 2 cách: ô tô hoặc tàu hỏa.
Hỏi thầy Trung có bao nhiêu cách chọn các phương tiện để đi từ Hà Nội vào Quảng Nam?
Hướng dẫn giải:
- Số cách chọn đi từ Hà Nội vào Huế là 3.
- Số cách chọn đi từ Huế vào Quảng Nam là 2
$\Rightarrow$ Số cách chọn phương tiện từ Hà Nội vào Quảng Nam là: 3.2 = 6.
Hoạt động 4: Để lắp ghế vào một phòng chiếu phim, các ghế được gắn nhãn bằng một chữ cái in hoa (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh từ A đến Z) đứng trước và một số nguyên từ 1 đến 20, chẳng hạn X15, Z2,...
Hỏi có thể gắn nhãn tối đa được bao nhiêu ghế?
Hướng dẫn giải:
- Số cách chọn chữ cái là 26 cách
- Số cách chọn số từ 1 đến 20 là: 20 cách
$\Rightarrow$ Số cách gắn nhãn là: 26.20 = 520
Vậy có thể gắn nhãn tối đa được 520 ghế.
Luyện tập 2: Tại kì World Cup năm 2018, vòng bảng gồm có 32 đội tham gia, được chia vào 8 bảng, mỗi bảng 4 đội thi đấu vòng tròn ( mỗi đội chơi một trận với từng đội khác trong cùng bảng). Hỏi tổng cộng vòng bảng có bao nhiêu trận đấu?
Hướng dẫn giải:
Trong một bảng, mỗi đội sẽ gặp 3 đội còn lại nên mỗi bảng sẽ có 6 trận đấu.
Số trận đấu của vòng bảng là: 8.6 = 48 trần.
3. KẾT HỢP QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN
Luyện tập 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số thỏa mãn:
a. Là số tự nhiên có ba chữ số khác nhau.
b. Là số tự nhiên chắn có ba chữ số khác nhau?
Hướng dẫn giải:
a. Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $\overline{abc}$, với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0, 1, 2, 3} (a $\neq $ 0, $a\neq b\neq c$).
Chọn số a có 3 cách, do a $\neq $ 0.
Chọn b có 3 cách từ tập A\{a}
Chọn c có 2 cách từ tập A\{a; b}
Số các số thõa mãn bài toán là: 3.3.2 = 18 số.
b. Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $\overline{abc}$ với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0, 1, 2, 3}, (a $\neq $ 0, $a\neq b\neq c$).
Để $\overline{abc}$ là số chẵn thì c $\in$ {0; 2}
- Nếu c = 0
Chọn a có 3 cách, chọn b có 2 cách
$\Rightarrow$ Số các số lập được là: 3.2 = 6 số
- Nếu c = 2
Chọn a có 2 cách, chọn b có 2 cách
$\Rightarrow$ Số các số lập được là: 2.2 = 4 số
Vậy số các số chắn có 3 chữ số khác nhau lập được là: 6 + 4 = 10 số.
Vận dụng: Khối lớp 10 của một trường trung học phổ thông có ba lớp 10A, 10B, 10C. Lớp 10A có 10 bạn, lớp 10B có 35 bạn, lớp 10C có 32 bạn. Nhà trường muốn chọn 4 bạn để thành lập đội cờ đỏ của khối sao cho có đủ đại diện của các lớp. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn?
Hướng dẫn giải:
- Trường hợp 1: Chọn 2 bạn lớp 10A, 1 bạn 10B, 1 bạn 10C
- Chọn 2 bạn của lớp 10A, vì vai trò hai bạn như nhau nên số cách chọn là: 30.29 : 2 = 435 cách
- Chọn 1 bạn của lớp 10B có 35 cách
- Chọn 1 bạn của lớp 10C có 32 cách
$\Rightarrow$ Số cách chọn là: 435. 35. 32 = 487 200 cách.
- Trường hợp 2: Chọn 1 bạn lớp 10A, 2 bạn 10B, 1 bạn 10C
- Chọn 1 bạn của lớp 10A có 30 cách
- Chọn 2 bạn của lớp 10B, vì vai trò hai bạn như nhau nên số cách chọn là: 35.34 : 2 = 595 cách
- Chọn 1 bạn của lớp 10C có 32 cách
$\Rightarrow$ Số cách chọn là: 30.595.32 = 571 200 cách.
- Trường hợp 3: Chọn 1 bạn lớp 10A, 1 bạn 10B, 2 bạn 10C
- Chọn 1 bạn của lớp 10A có 30 cách
- Chọn 1 bạn của lớp 10B có 35 cách
- Chọn 2 bạn của lớp 10C, vì vai trò hai bạn như nhau nên số cách chọn là: 32.31 : 2 = 496 cách
$\Rightarrow$ Số cách chọn là: 30.35.496 = 520 800 cách.
Vậy số cách chọn 4 bạn để thành lập đội cờ đỏ là: 487 200 + 571 200 + 520 800 = 1 579 200 cách.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài tập 8.1. Trên giá sách có 8 cuốn truyện ngắn, 7 cuốn tiểu thuyết và 5 tập thơ (tất cả đều khác nhau). Vẽ sơ đồ hình cây minh hoạ và cho biết bạn Phong có bao nhiêu cách chọn một cuốn để đọc vào ngày cuối tuần.
Bài tập 8.2. Một người gieo đồng xu hai mặt, sau mỗi lần gieo thì ghi lại kết quả là sấp hay ngửa. Hỏi nếu người đó gieo 3 lần thì có thể có bao nhiêu khả năng xảy ra?
Bài tập 8.3. Ở một loài thực vật, A là gen trội quy định tính trạng hoa kép, a là gen lặn quy định tính trạng hoa đơn.
a. Sự tổ hợp giữa hai gen trên tạo ra mấy kiểu gen? Viết các kiểu gen đó.
b. Khi giao phối ngẫu nhiên, có bao nhiêu kiểu giao phối khác nhau từ các kiểu gen đó?
Bài tập 8.4. Có bao nhiêu số tự nhiên
a. Có 3 chữ số khác nhau?
b. Là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
c. Là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?
d. Là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Bài tập 8.5.
a. Mật khẩu của chương trình máy tính quy định gồm 3 kí tự, mỗi kỉ tự là một chữ số. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
b. Nếu chương trình máy tính quy định mới mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chứ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau là các chữ số (từ 0 đến 9). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu khác nhau?