Giải bài 11 Tích vô hướng của hai vectơ

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Hoạt động 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Hãy tìm số đo các góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$.

Hướng dẫn giải:

Số đo góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là số đo góc CBD, có số đo: 30^o

Số đo góc giữa $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$ là số đo góc BDA, có số đo: 80^o - 30^o = 50^o.

(Vì trong tam giác BCD, góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó).

Câu hỏi 1: Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 0^o , bằng 180^o?

Hướng dẫn giải:

• Góc giữa hai vecto bằng 0^o khi hai vecto cùng hướng.
• Góc giữa hai vecto bằng 180^o khi hai vecto ngược hướng.

Luyện tập 1: Cho tam giác đều ABC. Tính ($\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$).

Hướng dẫn giải:

Dựng vecto $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

=> ($\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$) = ($\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$)= $\widehat{BAD}$

Do AD // BC nên ta có: $\widehat{BAD}=180^{o}-\widehat{ABD}=180^{o}- 60^{o}=120^{o}$.

Vậy ($\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$) = $120^{o}$.

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Câu hỏi 2: Khi nào thì tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Hướng dẫn giải:

• Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ là một số dương khi góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ là góc nhỏ hơn $90^{o}$.
• Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ là một số dương khi góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ là góc lớn hơn $90^{o}$.

Câu hỏi 3: Khi nào thì $\left ( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \right )^{2}=\overrightarrow{u}^{2}.\overrightarrow{v}^{2}$?

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left ( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \right )^{2}=\left (  |\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\right )=\overrightarrow{u}^{2}.\overrightarrow{v}^{2}.cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

Nên $\left ( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \right )^{2}=\overrightarrow{u}^{2}.\overrightarrow{v}^{2}$ thì $cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=0$, hay là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng hướng.

Luyện tập 2: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ theo a, b,c.

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= AB.AC.cosBAC$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC có: $cosA=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2.AB.AC}=\frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2.c.b}$

Suy ra: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$= $b.c.\frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2.c.b}$

=$\frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2}$

3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Hoạt động 2: Cho hai vecto cùng phương $\overrightarrow{u}=(x; y)$ và $\overrightarrow{v}=(kx; ky)$. Hãy kiểm tra công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k(x^{2}+y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a. $\overrightarrow{u}= \overrightarrow{0}$

b. $\overrightarrow{u} \neq  \overrightarrow{0}$ và $k\geq 0$

c. $\overrightarrow{u} \neq  \overrightarrow{0}$ và k<0.

Hướng dẫn giải:

Do hai vecto $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương nên: $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})= 0^{o}$

Suy ra: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|$

= $\sqrt{x^{2}+y^{2}}.\sqrt{(kx)^{2}+(ky)^{2}}$= $k(x^{2}+y^{2})$.

a. Nếu $\overrightarrow{u}= \overrightarrow{0}$ thì x = y = 0.

Suy ra: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

b. Nếu $\overrightarrow{u} \neq  \overrightarrow{0}$ và $k\geq 0$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k(x^{2}+y^{2}) \geq 0$.

c. Nếu $\overrightarrow{u} \neq  \overrightarrow{0}$ và $k\geq 0$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k(x^{2}+y^{2})$ < 0.

Hoạt động 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vecto không cùng phương $\overrightarrow{u}=(x; y)$ và $\overrightarrow{v}=(x'; y')$.

a. Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}$.

b. Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c. Tính $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ theo tọa độ của A, B.

Hướng dẫn giải:

a. Tọa độ điểm A(x; y) và tọa độ B(x'; y').

b. $\overrightarrow{AB}(x'-x; y'-y)$, $\overrightarrow{OA}(x; y)$ và $\overrightarrow{OB}(x'; y')$

AB² = $(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}$

OA² = $x^{2}+y^{2}$ 

$OB^{2} = x'^{2}+y'^{2}$

c.

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}= OA.OB.cosAOB$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABO có: $cosO=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2.OA.OB}$

Suy ra: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$= $\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2}$

= x.x'+ y.y'

Luyện tập 3: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u}= (0;-5), \overrightarrow{v}=(\sqrt{3};1)$

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$=$0.\sqrt{3}+(-5).1=-5$

$cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{0.\sqrt{3}+(-5).1}{\sqrt{0+5^{2}}.\sqrt{3+1}} = -0,5$

=> $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})= 120^{o}$.

Hoạt động 4: Cho ba vecto $\overrightarrow{u}= (x_{1};y_{1}), \overrightarrow{v}= (x_{2};y_{2}), \overrightarrow{w}= (x_{3};y_{3})$.

a. Tính $\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$, $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$ theo tọa độ của các vecto $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$.

b. So sánh $\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$.

c. So sánh $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.

Hướng dẫn giải:

a.

$(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$= $(x_{2}+x_{3};y_{2}+y_{3})$

$\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$ = $x_{1}.(x_{2}+x_{3})+y_{1}.(y_{2}+y_{3})$.

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$ = $x_{1}.x_{2}+y_{1}.y_{2}+x_{1}.x_{3}+y_{1}.y_{3}$= $x_{1}.(x_{2}+x_{3})+y_{1}.(y_{2}+y_{3})$.

b. $\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$ = $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$.

c. $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$=$x_{1}.x_{2}+y_{1}.y_{2}$

$\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$=$x_{2}.x_{1}+y_{2}.y_{1}$.

Suy ra: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ = $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$

Luyện tập 4: Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{0}$.

b. Tìm tọa độ của H.

c. Giải tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

a. Do H là trực tâm của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC, BH vuông góc với CA.

Suy ra: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{0}$

b. Gọi H(x; y)

Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$  và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}= 0$

Với $\overrightarrow{AH}(x+1; y-2)$; $\overrightarrow{BC}(0; 9)$; $\overrightarrow{BH}(x-8; y+1)$; $\overrightarrow{CA}(-9; -6)$

$\left\{\begin{matrix}(x+1).0 + (y-2).9 = 0\\ (x-8).(-9)+(y+1).(-6)=0\end{matrix}\right.$

Suy ra: x = 6; y =2.

Vậy H(6; 2).

c. $\overrightarrow{AB}(9; -3)$; $\overrightarrow{BC}(0; 9)$; $\overrightarrow{CA}(-9; -6)$

AB= $\sqrt{9^{2}+3^{2}}=3\sqrt{10}$ 

AC = $\sqrt{9^{2}+6^{2}}=3\sqrt{13}$

BC = $\sqrt{0^{2}+9^{2}}=9$.

• Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC có: $cosA=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2.AB.AC}\approx 0,61$

=>$\widehat{A}\approx 52^{o}$

• Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC có: $cosB=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2.AB.BC}\approx 0,32$

=>$\widehat{B}\approx 71,6^{o}$

=> $\widehat{C}=180^{o}-52^{o}-71,6^{o}=56,4^{o}$.

Vận dụng: Một lực $\overrightarrow{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực $\overrightarrow{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần là $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ ($\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_{1}}$ +$\overrightarrow{F_{2}}$).

a. Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$.

b. Giả sử các lực thành phần $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ tương ứng cùng phương, vuông góc ới phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ và lực $\overrightarrow{F_{1}}$.

Hướng dẫn giải:

a. Công của lực $\overrightarrow{F}$ là: A = $\overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}$ = $(\overrightarrow{F_{1}}+\overrightarrow{F_{1}}).\overrightarrow{AB}$

= $\overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{F_{2}}.\overrightarrow{AB}$

= $A_{1} + A_{2}$

Với $A_{1}, A_{2}$ lần lượt là công của lực $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$.

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$.

b.

• Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_{1}}$ là: $A_{1}=|\overrightarrow{F_{1}}|.AB.cos0^{o}=|\overrightarrow{F_{1}}|.AB$
• Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_{2}}$ là: $A_{2}=|\overrightarrow{F_{2}}|.AB.cos90^{o}= 0$
• Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là: A = $\overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{F_{2}}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: $A = |\overrightarrow{F_{1}}|.AB + 0 = |\overrightarrow{F_{1}}|.AB$ = $A_{1} $

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_{1}}$.