Giải bài 11 Tích vô hướng của hai vectơ

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Hoạt động 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Hãy tìm số đo các góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$.

Hướng dẫn giải:

Số đo góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là số đo góc CBD, có số đo: 30^o

Số đo góc giữa $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$ là số đo góc BDA, có số đo: 80^o - 30^o = 50^o.

(Vì trong tam giác BCD, góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó).

Câu hỏi 1: Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 0^o , bằng 180^o?

Hướng dẫn giải:

• Góc giữa hai vecto bằng 0^o khi hai vecto cùng hướng.
• Góc giữa hai vecto bằng 180^o khi hai vecto ngược hướng.

Luyện tập 1: Cho tam giác đều ABC. Tính ($\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$).

Hướng dẫn giải:

Dựng vecto $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

=> ($\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$) = ($\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$)= $\widehat{BAD}$

Do AD // BC nên ta có: $\widehat{BAD}={180}^o-\widehat{ABD}={180}^o-{60}^o={120}^o$.

Vậy ($\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$) = ${120}^o$.

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Câu hỏi 2: Khi nào thì tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Hướng dẫn giải:

• Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương khi góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc nhỏ hơn ${90}^o$.
• Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương khi góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc lớn hơn ${90}^o$.

Câu hỏi 3: Khi nào thì ${(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2$?

Hướng dẫn giải:

Ta có: ${(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})}^2=(|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}))={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2.co{s}^2(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

Nên ${(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2$ thì $cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=0$, hay là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng hướng.

Luyện tập 2: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ theo a, b,c.

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cosBAC$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC có: $cosA=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{c^2+b^2-a^2}{2.c.b}$

Suy ra: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$= $b.c.\frac{c^2+b^2-a^2}{2.c.b}$

=$\frac{c^2+b^2-a^2}{2}$

3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Hoạt động 2: Cho hai vecto cùng phương $\overrightarrow{u}=(x;y)$ và $\overrightarrow{v}=(kx;ky)$. Hãy kiểm tra công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k(x^2+y^2)$ theo từng trường hợp sau:

a. $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

b. $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0$

c. $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và k<0.

Hướng dẫn giải:

Do hai vecto $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương nên: $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=0^o$

Suy ra: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|$

= $\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{(kx{)}^2+(ky{)}^2}$= $k(x^2+y^2)$.

a. Nếu $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ thì x = y = 0.

Suy ra: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

b. Nếu $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k(x^2+y^2)\ge 0$.

c. Nếu $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k(x^2+y^2)$ < 0.

Hoạt động 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vecto không cùng phương $\overrightarrow{u}=(x;y)$ và $\overrightarrow{v}=(x^{\prime };y^{\prime })$.

a. Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}$.

b. Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c. Tính $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ theo tọa độ của A, B.

Hướng dẫn giải:

a. Tọa độ điểm A(x; y) và tọa độ B(x'; y').

b. $\overrightarrow{AB}(x^{\prime }-x;y^{\prime }-y)$, $\overrightarrow{OA}(x;y)$ và $\overrightarrow{OB}(x^{\prime };y^{\prime })$

AB² = $(x^{\prime }-x{)}^2+(y^{\prime }-y{)}^2$

OA² = $x^2+y^2$ 

$O{B}^2=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}$

c.

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=OA.OB.cosAOB$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABO có: $cosO=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2.OA.OB}$

Suy ra: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$= $\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2}$

= x.x'+ y.y'

Luyện tập 3: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u}=(0;-5),\overrightarrow{v}=(\sqrt{3};1)$

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$=$0.\sqrt{3}+(-5).1=-5$

$cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{0.\sqrt{3}+(-5).1}{\sqrt{0+5^2}.\sqrt{3+1}}=-0,5$

=> $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})={120}^o$.

Hoạt động 4: Cho ba vecto $\overrightarrow{u}=(x_1;y_1),\overrightarrow{v}=(x_2;y_2),\overrightarrow{w}=(x_3;y_3)$.

a. Tính $\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$, $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$ theo tọa độ của các vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$.

b. So sánh $\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$.

c. So sánh $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.

Hướng dẫn giải:

a.

$(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$= $(x_2+x_3;y_2+y_3)$

$\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$ = $x_1.(x_2+x_3)+y_1.(y_2+y_3)$.

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$ = $x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$= $x_1.(x_2+x_3)+y_1.(y_2+y_3)$.

b. $\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$ = $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$.

c. $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$=$x_1.x_2+y_1.y_2$

$\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$=$x_2.x_1+y_2.y_1$.

Suy ra: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ = $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$

Luyện tập 4: Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$.

b. Tìm tọa độ của H.

c. Giải tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

a. Do H là trực tâm của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC, BH vuông góc với CA.

Suy ra: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$

b. Gọi H(x; y)

Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$  và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=0$

Với $\overrightarrow{AH}(x+1;y-2)$; $\overrightarrow{BC}(0;9)$; $\overrightarrow{BH}(x-8;y+1)$; $\overrightarrow{CA}(-9;-6)$

$\{\begin{array}{c}(x+1).0+(y-2).9=0\\ (x-8).(-9)+(y+1).(-6)=0\end{array}$

Suy ra: x = 6; y =2.

Vậy H(6; 2).

c. $\overrightarrow{AB}(9;-3)$; $\overrightarrow{BC}(0;9)$; $\overrightarrow{CA}(-9;-6)$

AB= $\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$ 

AC = $\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13}$

BC = $\sqrt{0^2+9^2}=9$.

• Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC có: $cosA=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}\approx 0,61$

=>$\hat{A}\approx {52}^o$

• Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC có: $cosB=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}\approx 0,32$

=>$\hat{B}\approx 71,6^o$

=> $\hat{C}={180}^o-{52}^o-71,6^o=56,4^o$.

Vận dụng: Một lực $\overrightarrow{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực $\overrightarrow{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần là $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ ($\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}$ +$\overrightarrow{F_2}$).

a. Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$.

b. Giả sử các lực thành phần $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ tương ứng cùng phương, vuông góc ới phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ và lực $\overrightarrow{F_1}$.

Hướng dẫn giải:

a. Công của lực $\overrightarrow{F}$ là: A = $\overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}$ = $(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_1}).\overrightarrow{AB}$

= $\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{F_2}.\overrightarrow{AB}$

= $A_1+A_2$

Với $A_1,A_2$ lần lượt là công của lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$.

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$.

b.

• Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_1}$ là: $A_1=|\overrightarrow{F_1}|.AB.cos{0}^o=|\overrightarrow{F_1}|.AB$
• Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_2}$ là: $A_2=|\overrightarrow{F_2}|.AB.cos{90}^o=0$
• Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là: A = $\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{F_2}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: $A=|\overrightarrow{F_1}|.AB+0=|\overrightarrow{F_1}|.AB$ = $A_1$

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_1}$.