Giải bài 1 Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Khám phá 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn $\alpha$, lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}$ = $\alpha$. Giả sử điểm M có tọa độ ($x_0$; $y_0$). Trong tam giác vuông OHM, áp dụng cách tính các tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:

sin$\alpha$ = $y_0$; cos$\alpha$ = $x_0$; tan$\alpha$ = $\frac{y_0}{x_0}$; cot$\alpha$ = $\frac{x_0}{y_0}$

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác OMH vuông tại H, ta có:

• sin$\alpha$ = $\frac{MH}{OM}$ = $\frac{y_0}{R}$ = $\frac{y_0}{1}$ = $y_0$
• cos$\alpha$ = $\frac{OH}{OM}$ = $\frac{x_0}{R}$ = $\frac{x_0}{1}$ = $x_0$
• tan$\alpha$ = $\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$ = $\frac{y_0}{x_0}$
• cot$\alpha$ = $\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$ = $\frac{x_0}{y_0}$

Thực hành 1: Tìm giá trị lượng giác góc ${135}^{\circ }$

Hướng dẫn giải:

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}$ = ${135}^{\circ }$. Ta có: $\widehat{MOy}$ = ${135}^{\circ }$ - ${90}^{\circ }$ = ${45}^{\circ }$.

Lại có: sin${45}^{\circ }$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos${45}^{\circ }$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 

$\Rightarrow$ Tọa độ điểm M là $(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Vậy theo định nghĩa ta có: 

• sin${135}^{\circ }$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos${135}^{\circ }$ = - $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• tan${135}^{\circ }$ = -1; cot${135}^{\circ }$ = -1

2. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU

Khám phá 2: Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox (Hình 4). Tính tổng số đo của hai góc $\widehat{xOM}$ và $\widehat{xON}$.

Hướng dẫn giải:

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ N xuống Ox.

Vì $\widehat{xOM}$ = $\widehat{HON}$ nên $\widehat{xOM}$ + $\widehat{xON}$ = $\widehat{HON}$ + $\widehat{xON}$ = $\widehat{HOx}$ = ${180}^{\circ }$

Thực hành 2: Tính các giá trị lượng giác: sin${120}^{\circ }$; cos${150}^{\circ }$, cot${135}^{\circ }$

Hướng dẫn giải:

• sin${120}^{\circ }$ = sin$({180}^{\circ }-{60}^{\circ })$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
• cos${150}^{\circ }$ = -cos${30}^{\circ }$ = - $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
• cot${135}^{\circ }$ = -cot${45}^{\circ }$ = -1

Vận dụng 1: Cho biết sin$\alpha$ = $\frac{1}{2}$, tìm góc $\alpha$ ($0^{\circ }\le \alpha \le {180}^{\circ }$) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị).

Hướng dẫn giải:

Theo định nghĩa, sin$\alpha$ = $y_0$ = $\frac{1}{2}$. Ta có hình vẽ:

Đo $\alpha$ = ${30}^{\circ }$

3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT

Thực hành 3: Tính:

A = sin${150}^{\circ }$ + tan${135}^{\circ }$ + cot${45}^{\circ }$;

B = 2cos${30}^{\circ }$ - 3tan${150}^{\circ }$ + cot${135}^{\circ }$

Hướng dẫn giải:

A = sin${150}^{\circ }$ + tan${135}^{\circ }$ + cot${45}^{\circ }$

   = $\frac{1}{2}$ + (-1) + 1 = $\frac{1}{2}$

B = 2cos${30}^{\circ }$ - 3tan${150}^{\circ }$ + cot${135}^{\circ }$

   = 2.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ - 3.(- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ + (-1) = -1 + 2$sqrt{3}

Vận dụng 2: Tìm góc $\alpha$ ($0^{\circ }\le \alpha \le {180}^{\circ }$) trong mỗi trường hợp sau:

a. sin$\alpha$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b. cos$\alpha$ = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$;

c. tan$\alpha$ = -1;

d. cot$\alpha$ = -$sqrt3$

Hướng dẫn giải:

a. $\alpha$ =  ${60}^{\circ }$ hoặc $\alpha$ =  ${120}^{\circ }$

b. $\alpha$ =  ${135}^{\circ }$ 

c. $\alpha$ =  ${135}^{\circ }$

d. $\alpha$ =  ${150}^{\circ }$

4. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC

Thực hành 4:

a. Tính cos${80}^{\circ }$43'51''; tan${47}^{\circ }$12'25''; cot${99}^{\circ }$9'19''.

b. Tìm $\alpha$ ($0^{\circ }\le \alpha \le {180}^{\circ }$), biết cos$\alpha$ = -0.723

Hướng dẫn giải:

a.

• cos${80}^{\circ }$43'51'' $\approx$ 0,161
• tan${47}^{\circ }$12'25'' $\approx$ 1,08
• cot${99}^{\circ }$9'19'' $\approx$ -0,161

b. $\alpha$ $\approx$ ${136}^{\circ }$18'10''