1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Khám phá 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn $\alpha$, lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}$ = $\alpha$. Giả sử điểm M có tọa độ ($x_{0}$; $y_{0}$). Trong tam giác vuông OHM, áp dụng cách tính các tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:
sin$\alpha$ = $y_{0}$; cos$\alpha$ = $x_{0}$; tan$\alpha$ = $\frac{y_{0}}{x_{0}}$; cot$\alpha$ = $\frac{x_{0}}{y_{0}}$
Hướng dẫn giải:
Xét tam giác OMH vuông tại H, ta có:
- sin$\alpha$ = $\frac{MH}{OM}$ = $\frac{y_{0}}{R}$ = $\frac{y_{0}}{1}$ = $y_{0}$
- cos$\alpha$ = $\frac{OH}{OM}$ = $\frac{x_{0}}{R}$ = $\frac{x_{0}}{1}$ = $x_{0}$
- tan$\alpha$ = $\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$ = $\frac{y_{0}}{x_{0}}$
- cot$\alpha$ = $\frac{cos\alpha}{sin\alpha}$ = $\frac{x_{0}}{y_{0}}$
Thực hành 1: Tìm giá trị lượng giác góc $135^{\circ}$
Hướng dẫn giải:
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}$ = $135^{\circ}$. Ta có: $\widehat{MOy}$ = $135^{\circ}$ - $90^{\circ}$ = $45^{\circ}$.
Lại có: sin$45^{\circ}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos$45^{\circ}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow$ Tọa độ điểm M là $\left ( - \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.
Vậy theo định nghĩa ta có:
- sin$135^{\circ}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos$135^{\circ}$ = - $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- tan$135^{\circ}$ = -1; cot$135^{\circ}$ = -1
2. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU
Khám phá 2: Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox (Hình 4). Tính tổng số đo của hai góc $\widehat{xOM}$ và $\widehat{xON}$.
Hướng dẫn giải:
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ N xuống Ox.
Vì $\widehat{xOM}$ = $\widehat{HON}$ nên $\widehat{xOM}$ + $\widehat{xON}$ = $\widehat{HON}$ + $\widehat{xON}$ = $\widehat{HOx}$ = $180^{\circ}$
Thực hành 2: Tính các giá trị lượng giác: sin$120^{\circ}$; cos$150^{\circ}$, cot$135^{\circ}$
Hướng dẫn giải:
- sin$120^{\circ}$ = sin$(180^{\circ} - 60^{\circ})$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- cos$150^{\circ}$ = -cos$30^{\circ}$ = - $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- cot$135^{\circ}$ = -cot$45^{\circ}$ = -1
Vận dụng 1: Cho biết sin$\alpha$ = $\frac{1}{2}$, tìm góc $\alpha$ ($0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị).
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa, sin$\alpha$ = $y_{0}$ = $\frac{1}{2}$. Ta có hình vẽ:
Đo $\alpha$ = $30^{\circ}$
3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT
Thực hành 3: Tính:
A = sin$150^{\circ}$ + tan$135^{\circ}$ + cot$45^{\circ}$;
B = 2cos$30^{\circ}$ - 3tan$150^{\circ}$ + cot$135^{\circ}$
Hướng dẫn giải:
A = sin$150^{\circ}$ + tan$135^{\circ}$ + cot$45^{\circ}$
= $\frac{1}{2}$ + (-1) + 1 = $\frac{1}{2}$
B = 2cos$30^{\circ}$ - 3tan$150^{\circ}$ + cot$135^{\circ}$
= 2.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ - 3.(- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ + (-1) = -1 + 2$sqrt{3}
Vận dụng 2: Tìm góc $\alpha$ ($0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$) trong mỗi trường hợp sau:
a. sin$\alpha$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$;
b. cos$\alpha$ = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$;
c. tan$\alpha$ = -1;
d. cot$\alpha$ = -$sqrt{3}$
Hướng dẫn giải:
a. $\alpha$ = $60^{\circ}$ hoặc $\alpha$ = $120^{\circ}$
b. $\alpha$ = $135^{\circ}$
c. $\alpha$ = $135^{\circ}$
d. $\alpha$ = $150^{\circ}$
4. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC
Thực hành 4:
a. Tính cos$80^{\circ}$43'51''; tan$47^{\circ}$12'25''; cot$99^{\circ}$9'19''.
b. Tìm $\alpha$ ($0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$), biết cos$\alpha$ = -0.723
Hướng dẫn giải:
a.
- cos$80^{\circ}$43'51'' $\approx$ 0,161
- tan$47^{\circ}$12'25'' $\approx$ 1,08
- cot$99^{\circ}$9'19'' $\approx$ -0,161
b. $\alpha$ $\approx$ $136^{\circ}$18'10''
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài tập 1. Cho biết sin$30^{\circ}$ = $\frac{1}{2}$; sin$60^{\circ}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; tan$45^{\circ}$ = 1. Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của E = 2cos$30^{\circ}$ + sin$150^{\circ}$ + tan$135^{\circ}$.
Bài tập 2. Chứng minh rằng:
a. sin$20^{\circ}$ = sin$160^{\circ}$
b. cos$50^{\circ}$ = - cos$130^{\circ}$
Bài tập 3. Tìm góc $\alpha$ ($0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$) trong mỗi trường hợp sau:
a. cos$\alpha$ = - $\frac{\sqrt{2}}{2}$;
b. sin$\alpha$ = 0;
c. tan$\alpha$ = 1;
d. cot$\alpha$ không xác định.
Bài tập 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a. sinA = sin(B + C)
b. cosA = cos(B + C)
Bài tập 5. Chứng minh rằng với mọi góc $\alpha$ ($0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$), ta đều có:
a. $cos^{2}\alpha$ + $sin^{2}\alpha$ = 1
b. tan$\alpha$. cot$\alpha$ = 1 ($0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$, $\alpha \neq 90^{\circ}$)
c. 1 + $tan^{2}\alpha$ = $\frac{1}{cos^{2}\alpha}$
d. 1 + $cot^{2}\alpha$ = $\frac{1}{sin^{2}\alpha}$ ($0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$, $\alpha \neq 90^{\circ}$)
Bài tập 6. Cho góc $\alpha$ với cos$\alpha$ = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Tính gái trị của biểu thức A = 2$sin^{2}\alpha$ + 5$cos^{2}\alpha$
Bài tập 7. Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:
a. Tính sin$168^{\circ}$45'33''; cos$17^{\circ}$22'35''; tan$156^{\circ}$26'39''; cot$56^{\circ}$36'42''.
b. Tìm $\alpha$ ($0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$) trong các trường hợp sau:
i. sin$\alpha$ = 0,862; ii. cos$\alpha$ = - 0,567; iii. tan$\alpha$ = 0,334