Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Tính chất ba đường trung trực của tam giác Toán lớp 7. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Giao điểm ba đường trung trực cách đều ba đỉnh. Vì vậy nếu O là giao điểm ba đường trung trực của $\Delta $ABC thì đường tròn (O; OA) sẽ đi qua B và C.
- Trong tam giác cân thì đường phân giác của góc ở đỉnh vừa là đường trung tuyến, vửa là đường trung trực của cạnh đáy.
- Cách tìm giao điểm ba đường trung trực của một tam giác: vẽ hai đường trung trực của hai cạnh
Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC cân tại A, phân giác AH. Đường trung trực của cạnh AB cắt đường AH tại O. Trên các cạnh AB và AC của tam giác ấy lấy các điểm E và F sao cho AE + AF = AB.
a) Chứng minh OE = OF
b) Chứng minh khi E và F di động trên cạnh AB và AC của $\Delta $ABC nhưng luôn có AE + AF = AB thì hai đường trung trực của EF đi qua một điểm cố định
c) Tìm vị trí của E và F để O là trung điểm của EF.
Hướng dẫn:
a) AE + AF = AB
AE + EB = AB
$\Rightarrow $ AF = EB
Có $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$
Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên $\Delta $OAB cân tại O do đó $\widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}$ , OB = OA
$\Rightarrow $ $\widehat{A_{2}}=\widehat{B_{1}}$ (= $\widehat{A_{1}}$)
Xét $\Delta $BOE và $\Delta $AOF có:
AF = BE
$\widehat{A_{2}}=\widehat{B_{1}}$
OB = OA
$\Rightarrow $ $\Delta $BOE = $\Delta $AOF
$\Rightarrow $ OE = OF
b) Vì OE = OF nên O nằm trên đường trung trực của OF.
Mà AB và BC cố định, O là giao điểm của hai đường trung trực cố định đó nên O là điểm cố định. Vậy E và F di động nhưng trung trực của EF luôn đi qua điểm cố định O.
c) Theo câu a ta có OE = OF, vậy để O là trung điểm của EF thì E, O, F thẳng hàng.
Khi đó AE = AF = $\frac{1}{2}$AB.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền.
2. Cho $\widehat{xOy}=90^{\circ}$ và điểm P nằm trong góc đó. Trên mặt phẳng đó lấy điểm A sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PA và điểm B sao cho Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PB.
a) Chứng minh ba điểm O, A, B thẳng hàng.
b) Chứng minh O là giao điểm của ba đường trung trực của $\Delta $ABP
3. Cho $\Delta $ABC, đường phân giác AI (I thuộc BC). Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H, từ H kẻ đường thẳng song song với AI cắt AB kéo dài tại E và cắt AC tại F. Chứng minh rằng:
a) Đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua đỉnh A của $\Delta $ABC.
b) Đường trung trực của đoạn thẳng EF vuông góc với AI
c) Khi H di động trên tia IC của $\Delta $ABC cố định thì đường trung trực của đoạn thẳng EF cố định.
4. Cho $\Delta $ABC có ba góc nhọn. Các điểm F, K, I là trung điểm các cạnh BC, BA và AC. Gọi H là giao điểm các đường trung trực $\Delta $ABC. Trên tia đối của tỉa FH lấy điểm $A_{1}$ sao cho $A_{1}$F = FH. Trên tia đối của tia KH lấy điểm $C_{1}$ sao cho KH = K$C_{1}$. Trên tia đối của tia IH lấy điểm $B_{1}$ sao cho IH = IB1
a) Chứng minh rằng hình sáu cạnh $A_{1}BC_{1}AB_{1}C$ có sáu cạnh bằng nhau và trong sáu cạnh đó từng đôi một song song.
b) Chứng minh rằng: $\Delta $ABC = $\Delta $$A_{1}B_{1}C_{1}$