Bài tập về tính chất ba đường trung trực của tam giác.
1.
$\Delta $ABC có $\widehat{A}=90^{\circ}$. Lấy M là trung điểm cạnh BC.
Ta chứng minh được MA = MB = MC = $\frac{1}{2}$BC
MA = MB nên M nằm trên đường trung trực của AB
MA = MC nên M nằm trên đường trung trực của AC
MC = MB nên M nằm trên đường trung trực của BC
Vậy M là giao điểm của ba đường trung trực của $\Delta $ABC
2.
a) Xét $\Delta $AOP có: Ox là đường trung trực của AP nên OA = OP
$\Delta $AOP cân tại O $\Rightarrow $ OI vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác của $\widehat{O}$
$\Rightarrow \widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$
Tương tự:
Xét $\Delta $BOP có: Oy là đường trung trực của BP nên OB = OP
$\Delta $AOP cân tại O $\Rightarrow $ OE vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác của $\widehat{O}$
$\Rightarrow \widehat{O_{3}}=\widehat{O_{4}}$
$\Rightarrow $ $\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{4}}=\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{3}}$
Mà $\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{3}}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{O_{1}}+\widehat{O_{4}}+\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{3}}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{AOB}=180^{\circ}$ hay A, O, B thẳng hàng.
b) Theo câu a ta có:
$\Delta $AOP cân tại O nên $\widehat{A}=\widehat{P_{1}}$
$\Delta $BOP cân tại O nên $\widehat{B}=\widehat{P_{2}}$
$\Rightarrow \widehat{A}+\widehat{B}=\widehat{P_{1}}+\widehat{P_{2}}$
Do A, O, B thẳng hàng nên AB là một cạnh của $\Delta $APB
Từ đó $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{P_{1}}+\widehat{P_{2}}=180^{\circ}$
$\Leftrightarrow \widehat{A}+\widehat{B}=\widehat{P_{1}}+\widehat{P_{2}}=90^{\circ}$
Vậy $\Delta $BAP vuông tai P có O là trung điểm cạnh huyền AB.
Từ đó ta chứng minh được O là trung điểm ba đường trung trực của $\Delta $APB (theo bài 1)
3.
a) Xét $\Delta $AEF có :
$\widehat{E}=\widehat{A_{1}}$ (2 góc đồng vị)
$\widehat{F}=\widehat{A_{2}}$ (2 góc so le trong)
Mà $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\Rightarrow \widehat{E}=\widehat{F}$
$\Rightarrow $ $\Delta $AEF cân tại A.
b) Gọi K là giao điểm của EH với đường trung trực của EF.
$\Delta $AEF cân tại A nên AK vừa là đường trung trực, vừa là đường phân giác của góc $\widehat{EAF}$.
Mà $\widehat{BAC}$ và $\widehat{CAF}$ là hai góc kề bù có AI và AK là hai đường phân giác nên AI $\perp $ AK.
c) $\Delta $ABC cố định nên đường phân giác AI cố định, AK $\perp $ AI nên AI cũng cố định. Điểm H chuyển động trên IC thì $\Delta $EAF luôn cân tại A nên đường trung trực qua A cố định.
4.
Xét $\Delta $AKH và $\Delta $BKC1 là hai tam giác vuông có:
AK = KB
KH = KC1
$\Rightarrow $ $\Delta $AKH = $\Delta $BKC1 (hai cạnh góc vuông)
$\Rightarrow $ AH = BC1 (1)
Và $\widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}\Rightarrow $ AH // BC1 (có hai góc so le trong bằng nhau) (2)
Xét $\Delta $AHI và $\Delta $CB1I là hai tam giác vuông có:
HI = IB
AI = IC
$\Rightarrow $ $\Delta $AHI = $\Delta $CB1I (3)
Và $\widehat{A_{2}}=\widehat{C_{1}}\Rightarrow $ AH // B1C (4)
Từ (1) và (3) $\Rightarrow $ BC1 // CB1
Từ (2) và (4) $\Rightarrow $ BC1 = CB1 = AH
Tương tự ta có AC1 // A1C; A1B // AB1
AC1 = A1C = BH; A1B // AB1 = CH
Mà H là giao điểm ba đường trung trực của $\Delta $ABC nên AH = BH = CH
Do đó BC1 = B1C = AC1 = A1C = AB1 = A1B
b) Xét $\Delta $C1AB1 và $\Delta $CA1B là hai tam giác cân, ta có:
C1A = CA1
AB1 = BA1
$\widehat{C_{1}AB_{1}}=\widehat{CA_{1}B}$
$\Rightarrow $ $\Delta $C1AB1 = $\Delta $CA1B (c.g.c)
$\Rightarrow $ BC = B1C1
Tương tự ta có: AC = A1C1
AB = A1B1
Do đó $\Delta $ABC = $\Delta $A1B1C1 (c.c.c)