Bài tập về tính chất ba đường cao của tam giác

Bài tập về tính chất ba đường cao của tam giác.

Góc $\hat{A}$ tù, nên BC lớn hơn AB và AC. Vậy M nằm giữa hai điểm B và C.

Mặt khác, $Δ$ ABN có BN = BA nên $Δ$ ABN cân tại B.

Vậy BE là tia phân giác $\hat{B}$ , đồng thời cũng là đường cao $\Rightarrow$ BE $⊥$ AN

$Δ$ ACM có CA = CM nên $Δ$ ACM cân tại C $\Rightarrow$ CF là tia phân giác $\hat{C}$ và cũng là đường cao $\Rightarrow C F ⊥ A M$

$Δ$ AEF có BE $⊥$ AN và CF $⊥$ AM. Gọi H là giao điểm của BE và CF (tính chất ba đường cao trong tam giác)

a) $Δ$ DAC và $Δ$ BCF có:

DA = DC

AC = CF

$\hat{D A C} = \hat{B C F}$

$\Rightarrow$ $Δ$ DAC = $Δ$ BCF (c.g.c)

$\Rightarrow$ DC = BF; $\hat{C_{1}} = \hat{F}$

Mà $\hat{C_{1}} + \hat{C_{2}} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{F} + \hat{C_{2}} = 90^{\circ}$

Trong $Δ$ CFI có: $\hat{F} + \hat{C_{2}} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{C I F} = 90^{\circ}$ . Vậy DC $⊥$ BF

b) Tương tự, ta chứng minh được $Δ$ DAB = $Δ$ CBE (c.g.c)

$\Rightarrow \hat{B_{1}} = \hat{E}$

Mà $\hat{B_{1}} + \hat{B_{2}} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{E} + \hat{B_{2}} = 90^{\circ}$

Trong $Δ$ EBG có: $\hat{E} + \hat{B_{2}} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{E B G} = 90^{\circ}$ . Vậy BD $⊥$ CE

Trong $Δ$ DBC có DH $⊥$ BC; BI $⊥$ AC; CG $⊥$ AB. Vậy DH, BI, CG là ba đường cao của $Δ$ BDC

Do đó DH, BI và CG đồng quy.

Trước tiên, ta thấy $\hat{A}$ không thể bằng $90^{\circ}$ vì nếu $\hat{A} = 90^{\circ}$ thì trực tâm H sẽ trùng lên đỉnh A. Khi đó AH = 0.

Ta xét các trường hợp :

Trường hợp 1: $\hat{A} < 90^{\circ}$ .

Xét $Δ$ AHK và $Δ$ BCK là hai tam giác vuông có:

AH = BC

$\hat{B_{1}} = \hat{A_{1}}$

$\Rightarrow$ $Δ$ AHK = $Δ$ BCK (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow$ AK = BK $\Rightarrow$ $Δ$ ABK vuông cân tại K nên $\hat{B A C} = 45^{\circ}$

Trường hợp 2: $\hat{A} > 90^{\circ}$

Khi đó trực tâm H sẽ nằm ngoài tam giác. Tương tự ta chứng minh được $Δ$ AHK = $Δ$ BCK (cạnh huyền - góc nhọn) $\Rightarrow$ HK = BK

Vậy $Δ$ BKH vuông cân tại K $\Rightarrow$ $\hat{B H C} = 45^{\circ}$

Mà hai góc $\hat{B H C}$ và $\hat{B A C}$ có BA $⊥$ HC, CA $⊥$ HB trong đó $\hat{B H C}$ là góc tù, nên $\hat{B H C} + \hat{B A C} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \hat{B A C} = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$

a) E là giao điểm của hai đường phân giác của hai góc ngoài $Δ$ ABC tại $\hat{B}$ và $\hat{C}$ nên AE là tia phân giác trong của $\hat{A}$

F là giao điểm của hai đường phân giác của hai góc ngoài $Δ$ ABC tại $\hat{A}$ và $\hat{C}$ nên BF là tia phân giác trong của $\hat{B}$

P là giao điểm của hai đường phân giác của hai góc ngoài $Δ$ ABC tại $\hat{A}$ và $\hat{B}$ nên CP là tia phân giác của $\hat{C}$

Vậy AE, BF, CP là ba đường phân giác trong của ba góc trong $Δ$ ABC.

Do đó AE, BF, CP đồng quy tại H.

b) H là trực tâm $Δ$ ABC nên H cách đều ba cạnh của $Δ$ ABC

Từ P hạ PQ $⊥$ AC, PI $⊥$ BC vì P nằm trên đường phân giác $\hat{C}$ nên cách đều hai cạnh, vậy PI = PQ.

Hạ PS $⊥$ AB, vì BP là phân giác của $\hat{A B I}$ nên PI = PS

Do đó PI = PQ = PS

Tương tự như trên, ta chứng minh các điểm F và E cũng cách đều ba cạnh của $Δ$ ABC

c) Tại A ta có $\hat{Q A B}$ và $\hat{B A C}$ là hai góc kề bù, trong đó AP là tia phân giác của $\hat{Q A B}$ , AE là tia phân giác của $\hat{B A C}$ . Vậy AP $⊥$ AE.

Tương tự tại B có $\hat{I B A}$ và $\hat{B A C}$ là hai góc kề bù, trong đó BP và BF là 2 tia phân giác nên BF $⊥$ BP.

Vậy trong $Δ$ AFP có EA và FB là đường cao, H là giao điểm của EA và FB suy ra H là trực tâm $Δ$ AFP

Bài tập về tính chất ba đường cao của tam giác

Bài học cùng chủ đề

Đề thi cùng chủ đề