Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông Toán lớp 7. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
- Nếu $\Delta $ABC vuông có độ dài cạnh huyền là a, độ dài hai cạnh góc vuông là b và c thì $a^{2}=b^{2}+c^{2}$
Ý nghĩa: Diện tích hình vuông có cạnh bằng độ dài cạnh huyền bằng tổng diện tích hai hình vuông có cạnh bằng độ dài hai cạnh góc vuông
Từ định lí đảo ta thấy: Nếu một tam giác có ba cạnh độ dài tỉ lệ với 3 : 4 : 5 thì tam giác đó vuông.
Ứng dụng kết quả này để đoán góc vuông hoặc kiểm tra một góc có bằng $90^{\circ}$ không.
- Ứng dụng:
- Từ định lí: Trong một tam giác vuông biết độ dài hai cạnh thì tính được cạnh thứ ba.
- Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC đường vuông góc hạ từ A xuống BC là AH. Biết AH = 6cm, BH = 4,5cm, HC = 8cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
Hướng dẫn:
Xét $\Delta $AHC là tam giác vuông tại H. Theo định lí Py-ta-go ta có:
$AC^{2}=AH^{2}+HC^{2}=6^{2}+8^{2}=100$
Xét $\Delta $ABH vuông tại H. Theo định lí Py-ta-go ta có:
$AB^{2}=AH^{2}+HB^{2}=6^{2}+(4,5)^{2}=56,25$
Vậy $AC^{2}+AB^{2}=100+56,25=156,25$
Mà BC = BH + HC = 4,5 + 8 = 12,5 $\Rightarrow BC^{2}=12,5^{2}=156,25$
$\Rightarrow AC^{2}+AB^{2} = BC^{2}$
Theo định lí Py-ta-go ta thấy $\Delta $ABC vuông tại A.
Ví dụ 2: Cho $\Delta $ABC nhọn. Kẻ AH $\perp $ BC. Biết độ dài các cạnh AC = 15cm, AH = 12cm và BH = 9cm. Hỏi $\Delta $ABC là tam giác gì? So sánh BH và CH.
Hướng dẫn:
Xét $\Delta $AHC vuông tại H
Theo định lý Py-ta-go ta có:
$AC^{2}=AH^{2}+HC^{2}\Rightarrow 15^{2}=12^{2}+HC^{2}$
$\Rightarrow HC^{2}=15^{2}-12^{2}=81$
$\Leftrightarrow HC = 9$ (cm)
Xét $\Delta $ABH vuông tại H, theo định lí Py-ta-go ta có:
$AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}\Leftrightarrow AB^{2}=12^{2}+9^{2}=225$
$\Leftrightarrow AB=15$ (cm)
Vậy $\Delta $ABC có AB = AC nên $\Delta $ABC cân tại A.
Ta cũng có BH = HC = 9 (cm)
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Cho $\Delta $ABC có góc A tù. Từ A hạ AH $\perp $ BC (H thuộc BC). Biết AB = 29cm; AC = 40cm và AH = $\frac{1}{2}$AC. Tính BH và HC.
2. Chứng minh rằng trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng $30^{\circ}$ thì cạnh đối diện với góc đó có độ dài bằng nửa cạnh huyền.
3. Để làm một kèo nhà bằng sắt để hợp mái tôn sao cho có độ dốc vừa phải. Người thợ thiết kế kèo hình tam giác $\Delta $ABC cân (AB = AC) có thanh AH được hàn vuông góc với thanh BC. Thanh HK được hàn vuông góc với thanh AC. Biết góc $\widehat{ACH}=30^{\circ}$ và AH = 2cm. Tính độ dài các cạnh : AK, KC, HK và HC.
4. Cho $\Delta $ABC vuông tại A. Từ điểm M là trung điểm của cạnh AC hạ MN $\perp $ BC (N thuộc BC). Chứng minh rằng Nếu AB > AC thì $NB^{2}-NC^{2}=AB^{2}$
5. Cho $\Delta $ABC vuông tại A. Từ điểm A hạ AH $\perp $ BC (H thuộc BC).
a) Chứng minh rằng $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$
b) Biết BC = 10cm, AC = 8cm. Tính độ dài của AH.