Bài tập về áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông

Bài tập về áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông.

1.

Ta có AH = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$.40 = 20 (cm)

Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác $\mathrm{\Delta }$ABH và $\mathrm{\Delta }$ACH ta tính được BH = 21cm; CH = 20$\sqrt{3}$cm.

2. 

Ta xét $\mathrm{\Delta }$ABC vuông tại B có $\hat{A}={30}^{\circ }$ ta phải chứng minh BC = $\frac{1}{2}$AC.

Thật vậy: trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = BC.

Xét $\mathrm{\Delta }$ABC và $\mathrm{\Delta }$ABE là hai tam giác vuông tại B có 

AB chung 

BC = BE

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$ABC = $\mathrm{\Delta }$ABE

$\Rightarrow$ AC = AE và $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}={30}^{\circ }$

Có $\widehat{CAE}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}={60}^{\circ }$

Xét $\mathrm{\Delta }$ACE có AC = AE và $\widehat{CAE}={60}^{\circ }$ nên $\mathrm{\Delta }$ACE là tam giác đều.

Do đó CE = AC = 2BC (đpcm)

3.

Ta có $\mathrm{\Delta }$AHC vuông tai H có $\hat{C}={30}^{\circ }$ (giả thiết)

$\Rightarrow \widehat{HAK}={60}^{\circ }$

$\mathrm{\Delta }$AHK có $\widehat{HAK}={60}^{\circ }\Rightarrow \widehat{AHK}={30}^{\circ }$ 

do đó AK = $\frac{1}{2}$AH (cạnh đối diện góc ${30}^{\circ }$ trong tam giác vuông)

$\Rightarrow AK=\frac{1}{2}.2=1$ (cm)

AH = $\frac{1}{2}$AC (cạnh đối diện góc ${30}^{\circ }$ trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \frac{1}{2}AC=2\Rightarrow AC=4$ (cm)

Vậy KC = AC - AK = 4 - 1 = 3 (cm)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong $\mathrm{\Delta }$AHK vuông ta có: 

$H{K}^2=A{H}^2-A{K}^2=2^2-1^2=3$

$\Rightarrow HK=\sqrt{3}$ (cm)

$\mathrm{\Delta }$HKC có $\hat{K}={90}^{\circ };\hat{C}={30}^{\circ }$ suy ra HK = $\frac{1}{2}$HC

Hay $\frac{1}{2}HC=\sqrt{3}\Rightarrow HC=2\sqrt{3}$

Vậy AK = 1cm; KC = 3cm; HK = $\sqrt{3}$cm; HC = 2$\sqrt{3}$cm

4. 

Xét $\mathrm{\Delta }$MBN vuông tại N, theo định lí Py-ta-go ta có:

$M{B}^2=M{N}^2+N{B}^2$ (1)

Xét $\mathrm{\Delta }$CMN vuông tại N, theo định lí Py-ta-go ta có:

$M{C}^2=M{N}^2+C{N}^2$ (2)

Lấy (1) trừ (2) ta được:

$M{B}^2-M{C}^2=N{B}^2-C{N}^2$ (3)

Mà MC = MA (4)(giả thiết)

Thay (4) vào (3), ta được: $M{B}^2-M{A}^2=N{B}^2-N{C}^2$

Trong $\mathrm{\Delta }$ABM vuông tại A ta có: $A{B}^2=M{B}^2-M{A}^2$ (6)

Thay (6) vào (5), ta có: $A{B}^2=N{B}^2-N{C}^2$

5. 

a) Ta có:

$S_{\mathrm{\Delta }ABC}=\frac{1}{2}AB.AC$

$S_{\mathrm{\Delta }ABC}=\frac{1}{2}AH.BC$

$\Rightarrow$ AB.AC = AH.BC 

Hay $AH=\frac{AB.AC}{BC}\Rightarrow \frac{1}{AH}=\frac{BC}{AB.AC}$

$\Rightarrow \frac{1}{A{H}^2}=\frac{B{C}^2}{A{B}^2.A{C}^2}$

$\mathrm{\Delta }$ABC vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$\Rightarrow \frac{1}{A{H}^2}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{A{B}^2.A{C}^2}=\frac{A{B}^2}{A{B}^2.A{C}^2}+\frac{A{C}^2}{A{B}^2.A{C}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$

Vậy $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$ (*)

b) Từ $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\Rightarrow {10}^2=A{B}^2+8^2$

$\Rightarrow A{B}^2=36\Rightarrow AB=6$

Thay vào hệ thức (*) ta có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{8^2}+\frac{1}{6^2}$

$\Rightarrow$ AH = 4,8 (cm)