Bài tập về áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông.

1.

Ta có AH = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$.40 = 20 (cm)

Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác $\Delta $ABH và $\Delta $ACH ta tính được BH = 21cm; CH = 20$\sqrt{3}$cm.

2. 

Ta xét $\Delta $ABC vuông tại B có $\widehat{A}=30^{\circ}$ ta phải chứng minh BC = $\frac{1}{2}$AC.

Thật vậy: trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = BC.

Xét $\Delta $ABC và $\Delta $ABE là hai tam giác vuông tại B có 

AB chung 

BC = BE

$\Rightarrow $ $\Delta $ABC = $\Delta $ABE

$\Rightarrow $ AC = AE và $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}=30^{\circ}$

Có $\widehat{CAE}=\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}=60^{\circ}$

Xét $\Delta $ACE có AC = AE và $\widehat{CAE}=60^{\circ}$ nên $\Delta $ACE là tam giác đều.

Do đó CE = AC = 2BC (đpcm)

3.

Ta có $\Delta $AHC vuông tai H có $\widehat{C}=30^{\circ}$ (giả thiết)

$\Rightarrow \widehat{HAK}=60^{\circ}$

$\Delta $AHK có $\widehat{HAK}=60^{\circ}\Rightarrow \widehat{AHK}=30^{\circ}$ 

do đó AK = $\frac{1}{2}$AH (cạnh đối diện góc $30^{\circ}$ trong tam giác vuông)

$\Rightarrow AK = \frac{1}{2}.2=1$ (cm)

AH = $\frac{1}{2}$AC (cạnh đối diện góc $30^{\circ}$ trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \frac{1}{2}AC=2\Rightarrow AC = 4$ (cm)

Vậy KC = AC - AK = 4 - 1 = 3 (cm)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong $\Delta $AHK vuông ta có: 

$HK^{2}=AH^{2}-AK^{2}=2^{2}-1^{2}=3$

$\Rightarrow HK=\sqrt{3}$ (cm)

$\Delta $HKC có $\widehat{K}=90^{\circ}; \widehat{C}=30^{\circ}$ suy ra HK = $\frac{1}{2}$HC

Hay $\frac{1}{2}HC=\sqrt{3}\Rightarrow HC=2\sqrt{3}$

Vậy AK = 1cm; KC = 3cm; HK = $\sqrt{3}$cm; HC = 2$\sqrt{3}$cm

4. 

Xét $\Delta $MBN vuông tại N, theo định lí Py-ta-go ta có:

$MB^{2}=MN^{2}+NB^{2}$ (1)

Xét $\Delta $CMN vuông tại N, theo định lí Py-ta-go ta có:

$MC^{2}=MN^{2}+CN^{2}$ (2)

Lấy (1) trừ (2) ta được:

$MB^{2}-MC^{2}=NB^{2}-CN^{2}$ (3)

Mà MC = MA (4)(giả thiết)

Thay (4) vào (3), ta được: $MB^{2}-MA^{2}=NB^{2}-NC^{2}$

Trong $\Delta $ABM vuông tại A ta có: $AB^{2}=MB^{2}-MA^{2}$ (6)

Thay (6) vào (5), ta có: $AB^{2}=NB^{2}-NC^{2}$

5. 

a) Ta có:

$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}AB.AC$

$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}AH.BC$

$\Rightarrow $ AB.AC = AH.BC 

Hay $AH = \frac{AB.AC}{BC}\Rightarrow \frac{1}{AH}=\frac{BC}{AB.AC}$

$\Rightarrow \frac{1}{AH^{2}}=\frac{BC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}$

$\Delta $ABC vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có: $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{AH^{2}}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{AB^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}+\frac{AC^{2}}{AB^{2}.AC^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$

Vậy $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$ (*)

b) Từ $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} \Rightarrow 10^{2}=AB^{2}+8^{2}$

$\Rightarrow AB^{2}=36\Rightarrow AB=6$

Thay vào hệ thức (*) ta có:

$\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{6^{2}}$

$\Rightarrow $ AH = 4,8 (cm)