Bài tập về dạng trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Bài tập về dạng trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

1.

a) Ta có AB $\perp$ AC; HF $\perp$ AC $\Rightarrow$ AB // HF

$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{EFH}$ (hai góc so le trong)

Xét $\mathrm{\Delta }$EAF và $\mathrm{\Delta }$FHE là 2 tam giác vuông có:

• chung cạnh huyền EF
• $\widehat{AEF}=\widehat{EFH}$

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$EAF = $\mathrm{\Delta }$FHE (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow$ AF = EH; EA = FH

Xét $\mathrm{\Delta }$AEH và $\mathrm{\Delta }$FHE là hai tam giác vuông có:

• chung cạnh huyền EH
• EA = FH

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$AEH = $\mathrm{\Delta }$FHE (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow$ AH = FE

b) Xét $\mathrm{\Delta }$AOF và $\mathrm{\Delta }$EOH có:

• AF = EH
• $\widehat{FAH}=\widehat{AHE}$ (AC // EH)
• $\widehat{AFE}=\widehat{FEH}$ (AC // EH)

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$AOF = $\mathrm{\Delta }$EOH (g.c.g)

$\Rightarrow$ OA = OH và OE = OF.

c) $\mathrm{\Delta }$AEH = $\mathrm{\Delta }$FHE $\Rightarrow \widehat{EAH}=\widehat{EFH}$ 

AE // FH $\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{HFE}$ 

$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{EAH}$ 

Mà $\widehat{EAH}=\widehat{ACB}$ 

$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ACB}$

AH $\perp$ BC; HE $\perp$ AB (giả thiết)

$\Rightarrow \widehat{AHE}=\widehat{ABC}$

2. 

Có: $\widehat{EAB}+\widehat{FAC}={90}^{\circ }$

    $\widehat{FCA}+\widehat{FAC}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{EAB}=\widehat{FCA}$

Xét $\mathrm{\Delta }$AEB và $\mathrm{\Delta }$CFA vuông tại E và F có:

• AB = CA
• $\widehat{EAB}=\widehat{FCA}$ 

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$AEB = $\mathrm{\Delta }$CFA (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow$ AE = CF; AF = BE

Hay AE + AF = CF + BE

Mà A nằm giữa E và F nên EA + AF = EF = BE + CF

3. 

- Xét $\mathrm{\Delta }$AOI và $\mathrm{\Delta }$AOM vuông tại I và M có:

• $O{A}^2=A{I}^2+O{I}^2$
• $O{A}^2=A{M}^2+O{M}^2$

$\Rightarrow A{I}^2+O{I}^2=A{M}^2+O{M}^2$, hay $A{I}^2=A{M}^2+O{M}^2-O{I}^2$ (1)

Tương tự ta có: $B{H}^2=B{I}^2+O{I}^2-O{H}^2$ (2)

                          $C{M}^2=C{H}^2+O{H}^2-O{M}^2$ (3)

Cộng (1), (2) và (3) ta được:

$A{I}^2+B{H}^2+C{M}^2=A{M}^2+O{M}^2-O{I}^2+B{I}^2+O{I}^2-O{H}^2+C{H}^2+O{H}^2-O{M}^2$

$\iff A{I}^2+B{H}^2+C{M}^2=A{M}^2+C{H}^2+B{I}^2$

4. 

a) Xét $\mathrm{\Delta }$ABH và $\mathrm{\Delta }$APH vuôn tại H có:

• BH = HP
• chung cạnh AH

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$ABH = $\mathrm{\Delta }$APH (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow$ AB = AP

$\mathrm{\Delta }$ABP có AB = AP nên $\mathrm{\Delta }$APB cân tại A.

b) $\mathrm{\Delta }$ABH = $\mathrm{\Delta }$APH $\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{PAH}={15}^{\circ }$

$\widehat{PAD}=\widehat{BAD}-\widehat{BAH}-\widehat{PAH}={90}^{\circ }-{15}^{\circ }-{15}^{\circ }={60}^{\circ }$

Lại có: AB = AP. Mà AD = AB nên AD = AP

$\mathrm{\Delta }$APD có AD = AP và $\widehat{PAD}={60}^{\circ }$ nên $\mathrm{\Delta }$APD đều

c) Xét $\mathrm{\Delta }$ABE và $\mathrm{\Delta }$APE có:

• AE là cạnh chung
• AB = AP 
• $\widehat{BAE}=\widehat{EAD}$

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$ABE = $\mathrm{\Delta }$APE (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{APE}={90}^{\circ }$

 Xét $\mathrm{\Delta }$PAF và $\mathrm{\Delta }$DAF có:

• AF là cạnh chung
• AD = AP 
• $\widehat{PAF}=\widehat{DAF}$

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$PAF = $\mathrm{\Delta }$DAF (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{ADF}=\widehat{APF}={90}^{\circ }$

Do đó ta có: $\widehat{APE}+\widehat{APF}={90}^{\circ }+{90}^{\circ }={180}^{\circ }$. Hay P, E, F thẳng hàng.

d) $\mathrm{\Delta }$PFD cân tại F và có:

$\widehat{F_2}+\widehat{A_2}={90}^{\circ }\Rightarrow \widehat{F_2}={60}^{\circ }$

$\widehat{F_1}+\widehat{A_1}={90}^{\circ }\Rightarrow \widehat{F_1}={60}^{\circ }$

Do đó $\hat{F}=\widehat{F_1}+\widehat{F_2}={120}^{\circ }$

Vậy $\mathrm{\Delta }$FPD có góc ở đỉnh F là ${120}^{\circ }$ và hai góc còn lại bằng ${30}^{\circ }$