Bài tập về dạng trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
1.
a) Ta có AB $\perp $ AC; HF $\perp $ AC $\Rightarrow $ AB // HF
$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{EFH}$ (hai góc so le trong)
Xét $\Delta $EAF và $\Delta $FHE là 2 tam giác vuông có:
- chung cạnh huyền EF
- $\widehat{AEF}=\widehat{EFH}$
$\Rightarrow $ $\Delta $EAF = $\Delta $FHE (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow $ AF = EH; EA = FH
Xét $\Delta $AEH và $\Delta $FHE là hai tam giác vuông có:
- chung cạnh huyền EH
- EA = FH
$\Rightarrow $ $\Delta $AEH = $\Delta $FHE (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
$\Rightarrow $ AH = FE
b) Xét $\Delta $AOF và $\Delta $EOH có:
- AF = EH
- $\widehat{FAH}=\widehat{AHE}$ (AC // EH)
- $\widehat{AFE}=\widehat{FEH}$ (AC // EH)
$\Rightarrow $ $\Delta $AOF = $\Delta $EOH (g.c.g)
$\Rightarrow $ OA = OH và OE = OF.
c) $\Delta $AEH = $\Delta $FHE $\Rightarrow \widehat{EAH}=\widehat{EFH}$
AE // FH $\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{HFE}$
$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{EAH}$
Mà $\widehat{EAH}=\widehat{ACB}$
$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ACB}$
AH $\perp $ BC; HE $\perp $ AB (giả thiết)
$\Rightarrow \widehat{AHE}=\widehat{ABC}$
2.
Có: $\widehat{EAB}+\widehat{FAC}=90^{\circ}$
$\widehat{FCA}+\widehat{FAC}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{EAB}=\widehat{FCA}$
Xét $\Delta $AEB và $\Delta $CFA vuông tại E và F có:
- AB = CA
- $\widehat{EAB}=\widehat{FCA}$
$\Rightarrow $ $\Delta $AEB = $\Delta $CFA (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow $ AE = CF; AF = BE
Hay AE + AF = CF + BE
Mà A nằm giữa E và F nên EA + AF = EF = BE + CF
3.
- Xét $\Delta $AOI và $\Delta $AOM vuông tại I và M có:
- $OA^{2}=AI^{2}+OI^{2}$
- $OA^{2}=AM^{2}+OM^{2}$
$\Rightarrow AI^{2}+OI^{2}=AM^{2}+OM^{2}$, hay $AI^{2}=AM^{2}+OM^{2}-OI^{2}$ (1)
Tương tự ta có: $BH^{2}=BI^{2}+OI^{2}-OH^{2}$ (2)
$CM^{2}=CH^{2}+OH^{2}-OM^{2}$ (3)
Cộng (1), (2) và (3) ta được:
$AI^{2}+BH^{2}+CM^{2}=AM^{2}+OM^{2}-OI^{2}+BI^{2}+OI^{2}-OH^{2}+CH^{2}+OH^{2}-OM^{2}$
$\Leftrightarrow AI^{2}+BH^{2}+CM^{2}=AM^{2}+CH^{2}+BI^{2}$
4.
a) Xét $\Delta $ABH và $\Delta $APH vuôn tại H có:
- BH = HP
- chung cạnh AH
$\Rightarrow $ $\Delta $ABH = $\Delta $APH (hai cạnh góc vuông)
$\Rightarrow $ AB = AP
$\Delta $ABP có AB = AP nên $\Delta $APB cân tại A.
b) $\Delta $ABH = $\Delta $APH $\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{PAH}=15^{\circ}$
$\widehat{PAD}=\widehat{BAD}-\widehat{BAH}-\widehat{PAH}=90^{\circ}-15^{\circ}-15^{\circ}=60^{\circ}$
Lại có: AB = AP. Mà AD = AB nên AD = AP
$\Delta $APD có AD = AP và $\widehat{PAD}=60^{\circ}$ nên $\Delta $APD đều
c) Xét $\Delta $ABE và $\Delta $APE có:
- AE là cạnh chung
- AB = AP
- $\widehat{BAE}=\widehat{EAD}$
$\Rightarrow $ $\Delta $ABE = $\Delta $APE (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{APE}=90^{\circ}$
Xét $\Delta $PAF và $\Delta $DAF có:
- AF là cạnh chung
- AD = AP
- $\widehat{PAF}=\widehat{DAF}$
$\Rightarrow $ $\Delta $PAF = $\Delta $DAF (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{ADF}=\widehat{APF}=90^{\circ}$
Do đó ta có: $\widehat{APE}+\widehat{APF}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$. Hay P, E, F thẳng hàng.
d) $\Delta $PFD cân tại F và có:
$\widehat{F_{2}}+\widehat{A_{2}}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{F_{2}}=60^{\circ}$
$\widehat{F_{1}}+\widehat{A_{1}}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{F_{1}}=60^{\circ}$
Do đó $\widehat{F}=\widehat{F_{1}}+\widehat{F_{2}}=120^{\circ}$
Vậy $\Delta $FPD có góc ở đỉnh F là $120^{\circ}$ và hai góc còn lại bằng $30^{\circ}$