Bài tập về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác

Bài tập về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác.

1.

a) Xét $\mathrm{\Delta }$aBM và $\mathrm{\Delta }$CEM có:

AM = MC

MB = ME

$\widehat{M_1}=\widehat{M_2}$

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$ABM = $\mathrm{\Delta }$CEM (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{ECM}$. Mà $\widehat{BAM}={90}^{\circ }\Rightarrow \widehat{ECM}={90}^{\circ }\Rightarrow CE\perp AC$

$\mathrm{\Delta }$ABC có $\hat{A}={90}^{\circ }$ nên BC là cạnh huyền, do đó BC > AB

Mà AB = CE (do $\mathrm{\Delta }$ABM = $\mathrm{\Delta }$CEM)

$\Rightarrow$ BC > CE

b) $\mathrm{\Delta }$ABM = $\mathrm{\Delta }$CEM $\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{CEM}$

Xét $\mathrm{\Delta }$BCE có BC > CE nên $\widehat{CEM}>\widehat{MBC}$

$\Rightarrow \widehat{AMB}>\widehat{MBC}$

2. 

Xét $\mathrm{\Delta }$EFC có: $\widehat{EFC}=\hat{A}+\widehat{E_1}$ (góc ngoài tam giác)

Mà $\hat{A}\ge {90}^{\circ }$, suy ra $\widehat{EFC}$ là góc tù.

Trong $\mathrm{\Delta }$EFC có $\widehat{EFC}$ là góc tù nên cạnh CE là lớn nhất. Do đó CE > EF (1)

Xét $\mathrm{\Delta }$AEC có: $\widehat{BEC}=\widehat{A_1}+\widehat{C_1}$ (góc ngoài)

Mà $\hat{A}\ge {90}^{\circ }$ nên $\widehat{BEC}>{90}^{\circ }$

Trong $\mathrm{\Delta }$BEC có $\widehat{BEC}$ tù nên cạnh BC là lớn nhất.

Do đó BC > CE (2)

Từ (1) và (2) ta có: BC > EF

3. 

a) $\mathrm{\Delta }$ABC cân tại A $\Rightarrow \hat{B}=\hat{C}$; AB = AC và BE = FC.

Vậy $\mathrm{\Delta }$ABE = $\mathrm{\Delta }$ACF (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BEA}=\widehat{CFA}$

Xét $\mathrm{\Delta }$ABE có: $\widehat{AEC}=\hat{B}+\widehat{BAE}$ 

Mà $\hat{B}=\hat{C}$ nên $\widehat{AEC}=\hat{C}+\widehat{BAE}$ , hay $\widehat{AEC}>\hat{C}$

Trong $\mathrm{\Delta }$AEC có $\widehat{AEC}>\hat{C}$ nên AC > AE (1)

Trên tia đối của tia FA lấy điểm N sao cho FN = FA.

Ta chứng minh đuợc $\mathrm{\Delta }$EAF = $\mathrm{\Delta }$CNF (c.g.c)

Suy ra $\widehat{EAF}=\widehat{CNF}$ (2) và AE = CN (3)

Từ (1) và (3) suy ra AC > CN

Trong $\mathrm{\Delta }$ACN có: AC > CN nên $\widehat{CNF}>\widehat{FAC}$ (4)

Từ (2) và (4) suy ra $\widehat{FAE}>\widehat{FAC}$

Vậy $\widehat{FAE}>\widehat{FAC}=\widehat{BAE}$

b) Nếu chia thành bốn đoạn bằng nhau BE = IE = FE = FC thì sẽ có bốn góc trong đó hai góc đôi một bằng nhau: $\widehat{BAE}=\widehat{CAF}$ ; $\widehat{EAI}=\widehat{IAF}$. Học sinh chứng minh tương tự

4. 

a) Trong $\mathrm{\Delta }$ABM có AM > BM $\Rightarrow \hat{B}>\widehat{A_1}$ (đối diện cạnh lớn hơn)

Vì BM = MC nên ta có AM > MC

Trong $\mathrm{\Delta }$AMC có AM > MC nên $\hat{C}>\widehat{A_2}$

$\Rightarrow \hat{B}+\hat{C}>\widehat{A_1}+\widehat{A_2}$

Hay $\hat{B}+\hat{C}>\hat{A}$

Mà $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^{\circ }$ nên $\hat{B}+\hat{C}>{90}^{\circ }$ và $\hat{A}<{90}^{\circ }$

$\Rightarrow \hat{A}$ nhọn.

b) Tương tự như trên, nếu AM = BM = CM

Trong $\mathrm{\Delta }$ABM có AM = BM $\Rightarrow \hat{B}=\widehat{A_1}$

Trong $\mathrm{\Delta }$ACM có AM = MC $\Rightarrow \hat{C}=\widehat{A_2}$

$\Rightarrow \hat{B}+\hat{C}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}$

Hay $\hat{B}+\hat{C}=\hat{A}$

Mà $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^{\circ }$ nên $\hat{B}+\hat{C}=\hat{A}={90}^{\circ }$

Vậy $\hat{A}$ là góc vuông

c) Tương tự câu a ta có:

Trong $\mathrm{\Delta }$ABM có AM < BM $\Rightarrow \hat{B}<\widehat{A_1}$ (đối diện cạnh lớn hơn)

Vì BM = MC nên ta có AM < MC

Trong $\mathrm{\Delta }$AMC có AM < MC nên $\hat{C}<\widehat{A_2}$

$\Rightarrow \hat{B}+\hat{C}>\widehat{A_1}+\widehat{A_2}$

Hay $\hat{B}+\hat{C}<\hat{A}$

Mà $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^{\circ }$ nên $\hat{B}+\hat{C}<{90}^{\circ }$ và $\hat{A}>{90}^{\circ }$

$\Rightarrow \hat{A}$ là góc tù.