Bài tập về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác.
1.
a) Xét $\Delta $aBM và $\Delta $CEM có:
AM = MC
MB = ME
$\widehat{M_{1}}=\widehat{M_{2}}$
$\Rightarrow $ $\Delta $ABM = $\Delta $CEM (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{ECM}$. Mà $\widehat{BAM}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{ECM}=90^{\circ}\Rightarrow CE\perp AC$
$\Delta $ABC có $\widehat{A}=90^{\circ}$ nên BC là cạnh huyền, do đó BC > AB
Mà AB = CE (do $\Delta $ABM = $\Delta $CEM)
$\Rightarrow $ BC > CE
b) $\Delta $ABM = $\Delta $CEM $\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{CEM}$
Xét $\Delta $BCE có BC > CE nên $\widehat{CEM}>\widehat{MBC}$
$\Rightarrow \widehat{AMB}>\widehat{MBC}$
2.
Xét $\Delta $EFC có: $\widehat{EFC}=\widehat{A}+\widehat{E_{1}}$ (góc ngoài tam giác)
Mà $\widehat{A}\geq 90^{\circ}$, suy ra $\widehat{EFC}$ là góc tù.
Trong $\Delta $EFC có $\widehat{EFC}$ là góc tù nên cạnh CE là lớn nhất. Do đó CE > EF (1)
Xét $\Delta $AEC có: $\widehat{BEC}=\widehat{A_{1}}+\widehat{C_{1}}$ (góc ngoài)
Mà $\widehat{A}\geq 90^{\circ}$ nên $\widehat{BEC}>90^{\circ}$
Trong $\Delta $BEC có $\widehat{BEC}$ tù nên cạnh BC là lớn nhất.
Do đó BC > CE (2)
Từ (1) và (2) ta có: BC > EF
3.
a) $\Delta $ABC cân tại A $\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}$; AB = AC và BE = FC.
Vậy $\Delta $ABE = $\Delta $ACF (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{BEA}=\widehat{CFA}$
Xét $\Delta $ABE có: $\widehat{AEC}=\widehat{B}+\widehat{BAE}$
Mà $\widehat{B}=\widehat{C}$ nên $\widehat{AEC}=\widehat{C}+\widehat{BAE}$ , hay $\widehat{AEC} > \widehat{C}$
Trong $\Delta $AEC có $\widehat{AEC} > \widehat{C}$ nên AC > AE (1)
Trên tia đối của tia FA lấy điểm N sao cho FN = FA.
Ta chứng minh đuợc $\Delta $EAF = $\Delta $CNF (c.g.c)
Suy ra $\widehat{EAF}=\widehat{CNF}$ (2) và AE = CN (3)
Từ (1) và (3) suy ra AC > CN
Trong $\Delta $ACN có: AC > CN nên $\widehat{CNF}>\widehat{FAC}$ (4)
Từ (2) và (4) suy ra $\widehat{FAE}>\widehat{FAC}$
Vậy $\widehat{FAE}>\widehat{FAC}=\widehat{BAE}$
b) Nếu chia thành bốn đoạn bằng nhau BE = IE = FE = FC thì sẽ có bốn góc trong đó hai góc đôi một bằng nhau: $\widehat{BAE}=\widehat{CAF}$ ; $\widehat{EAI}=\widehat{IAF}$. Học sinh chứng minh tương tự
4.
a) Trong $\Delta $ABM có AM > BM $\Rightarrow \widehat{B}>\widehat{A_{1}}$ (đối diện cạnh lớn hơn)
Vì BM = MC nên ta có AM > MC
Trong $\Delta $AMC có AM > MC nên $\widehat{C}>\widehat{A_{2}}$
$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}>\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}$
Hay $\widehat{B}+\widehat{C}>\widehat{A}$
Mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ nên $\widehat{B}+\widehat{C}>90^{\circ}$ và $\widehat{A}<90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{A}$ nhọn.
b) Tương tự như trên, nếu AM = BM = CM
Trong $\Delta $ABM có AM = BM $\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{A_{1}}$
Trong $\Delta $ACM có AM = MC $\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{A_{2}}$
$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}$
Hay $\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A}$
Mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ nên $\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A}=90^{\circ}$
Vậy $\widehat{A}$ là góc vuông
c) Tương tự câu a ta có:
Trong $\Delta $ABM có AM < BM $\Rightarrow \widehat{B}<\widehat{A_{1}}$ (đối diện cạnh lớn hơn)
Vì BM = MC nên ta có AM < MC
Trong $\Delta $AMC có AM < MC nên $\widehat{C}< \widehat{A_{2}}$
$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}>\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}$
Hay $\widehat{B}+\widehat{C}<\widehat{A}$
Mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ nên $\widehat{B}+\widehat{C}<90^{\circ}$ và $\widehat{A}>90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{A}$ là góc tù.