Bài tập về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu.

1.

a) AB = AC (giả thiết) BH + HC (đường xiên bằng nhau nen hình chiếu bằng nhau)

AH = HF (giả thiết) AC = CF và AB = BF (hình chiếu bằng nhau nên đường xiên bằng nhau)

Do đó AB = AC = CF = BF

b) Ta có : AH = HF AE = EF (hình chiếu bằng nhau nên đường xiên bằng nhau)

Vậy ΔAEF cân tại E.

2.

a) Muốn tìm hình chiếu của đoạn thẳng MN trên đường thẳng PQ, ta đi tìm hình chiếu của hai đầu mút đoạn thẳng đó lên PQ. Tức là từ M và N hạ các đường vuông góc với đường thẳng PQ.

Hạ MH PQ và NK PQ nên ta có HK là hình chiếu của MN trên đường thẳng PQ.

Tương tự cách tìm trên ta có EF là hình chiếu của PQ trên đường thẳng MN.

b) Chứng minh: ΔHOM = ΔKON (cạnh huyền - góc nhọn) OH = Ok..

Tương tự ta có OE = OF

Xét ΔMHO có H^=90 (theo cách vẽ); O^=60 (giả thiết), vậy M^=30.

OH là cạnh đối diện với góc M^=30 nên OH = 12OM

OH=12.122=3 (cm)

Vậy OH = OK = 3cm, HK = 6cm

Tương tự, xét ΔPOE có: E^=90;O^=60P^=30

OE=12POOE=12.82=2 (cm)

Vậy OE = OF = 2cm; EF = 4cm

3. 

a) AH < AC (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

   AH < AB (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

2AH < AB + AC. Hay AH < AB+AC2

b) Chứng minh tương tự như trên ta có:

BK < AB+BC2

CI < AC+BC2

Từ (1), (2) và (3) ta có:

AH + BK + CI < AB+AC+AB+BC+AC+BC2

Hay AH + BK + CI < AB+BC+AC

4. 

a) MH < MI; NK < IN (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

Vậy MH + NK < MI + IN (I nằm giữa hai điểm M và N)

Vậy MH + NK < MN

b) Nếu Px MN thì MH Px nên MH trùng với MN (vì qua M chỉ có một đường thẳng vuông góc với Px).

Tương tự ta có NK trùng với MN, tức là K trùng với H. Khi đó MH + KN = MN.

Vậy khi Px MN thì MH + KN  = MN (khi đó H trùng với K)