Bài tập về vẽ thêm đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông để chứng minh quan hệ về độ dài và tính góc

Bài tập về vẽ thêm đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông để chứng minh quan hệ về độ dài và tính góc.

Gọi M, N là trung điểm của AD và BC thì MN là đường trung bình của hình thang ABCD.

Nối HN, $Δ$ BHC vuông tại H có N là trung điểm của BC nên HN = NC = $\frac{1}{2}$ BC

Mà DM = $\frac{1}{2}$ AD = \frac{1}{2}$BC

$\Rightarrow$ DM = HN (1)

$Δ$ HNC có HN = NC nên $Δ$ HNC cân tại N $\Rightarrow$ $\hat{N H C} = \hat{N C H}$

Mà $\hat{N C H} = \hat{M D H}$

$\Rightarrow$ $\hat{N H C} = \hat{M D H}$ $\Rightarrow$ DM // NH (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ tứ giác DMNH là hình bình hành

$\Rightarrow$ MN = DH (3)

Vì hình thang ABCD cân nên $\hat{O D C} = \hat{O C D}$

Mà OD $⊥$ OC

$\Rightarrow \hat{O D C} = 45^{\circ}$ Hay $\hat{B D H} = 45^{\circ}$

$Δ$ BHD vuông tại H có $\hat{B D H} = 45^{\circ}$

$\Rightarrow$ $Δ$ BHD vuông cân tại H

$\Rightarrow$ BH = DH (4)

Từ (3), (4) $\Rightarrow$ BH = MN (đ.p.c.m)

a) Áp dụng định lí trung tuyến ứng với cạnh huyền vào tam giác vuông ABC ta được:

MA = $\frac{1}{2}$ BC; BM = MC

$\Rightarrow$ MA = MC nên $\hat{A_{4}} = \hat{C}$

Lại có $\hat{A_{1}} = \hat{C}$ do cùng phụ với $\hat{B}$ , suy ra $\hat{A_{1}} = \hat{A_{4}}$

Vậy $\hat{H A B} = \hat{M A C}$ (1)

b) Vì AD là phân giác của góc A theo giả thiết nên $\hat{B A D} = \hat{D A C}$ (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow \hat{A_{2}} = \hat{A_{3}}$

Do đó AD là tia phân giác của $\hat{H A M}$

c) Chứng minh tương tự câu a) ta được $\hat{H_{1}} = \hat{A_{1}}$ (3) và $\hat{H_{2}} = \hat{H A C}$ (4)

Cộng từng vế (3) và (4) ta được: $\hat{I H K} = \hat{A} = 90^{\circ}$

Vậy IH $⊥$ HK