Bài tập về vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình vuông

Bài tập về vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình vuông.

1. 

Tứ giác KHED là hình vuông.

Vì $\mathrm{\Delta }$BDK vuông có $\hat{B}={45}^{\circ }$ nên là tam giác vuông cân, do đó BD = DK 

Chứng minh tương tự, HE = EC.

Vì BD = DE = EC theo giả thiết nên KD = DE = EH

Tứ giác KHED có KD // HE, KD = HE nên là hình bình hành.

Hình bình hành này có $\hat{D}={90}^{\circ }$ nên nó là hình chữ nhật.

Mà hình chữ nhật KHED có KD = DE nên nó là hình vuông.

2.

Vì $\mathrm{\Delta }$NCD có $\widehat{C_1}=\widehat{D_1}={45}^{\circ }$ nên vuông cân tại N.

Suy ra $\hat{N}={90}^{\circ }$ và ND = NC (1)

Chứng minh tương tự, $\hat{P}=\hat{Q}={90}^{\circ }$. Tứ giác MNPQ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

$\mathrm{\Delta }$AMD = $\mathrm{\Delta }$BPC (g-c-g) $\Rightarrow$ MD = PC (2)

Trừ theo vế đẳng thức (1) cho đẳng thức (2) ta được NM = NP

Như vậy hình chữ nhật MNPQ có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.

3.

Ta cần chứng minh 4 tam giác vuông EFG, IHG, CBI, CDE bằng nhau.

FG = GH = BI = DE

EF = HI = BC = CD

$\Rightarrow$ EG = GI = IC = CE và $\widehat{ICB}=\widehat{DCE}$

$\widehat{DCE}+\widehat{ECB}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{ICB}+\widehat{ECB}={90}^{\circ }=\widehat{ECI}$

$\Rightarrow$ tứ giác EGIC là hình vuông.