Bài tập về vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình vuông.
1.
Tứ giác KHED là hình vuông.
Vì $\Delta $BDK vuông có $\widehat{B}=45^{\circ}$ nên là tam giác vuông cân, do đó BD = DK
Chứng minh tương tự, HE = EC.
Vì BD = DE = EC theo giả thiết nên KD = DE = EH
Tứ giác KHED có KD // HE, KD = HE nên là hình bình hành.
Hình bình hành này có $\widehat{D}=90^{\circ}$ nên nó là hình chữ nhật.
Mà hình chữ nhật KHED có KD = DE nên nó là hình vuông.
2.
Vì $\Delta $NCD có $\widehat{C_{1}}=\widehat{D_{1}}=45^{\circ}$ nên vuông cân tại N.
Suy ra $\widehat{N}=90^{\circ}$ và ND = NC (1)
Chứng minh tương tự, $\widehat{P}=\widehat{Q}=90^{\circ}$. Tứ giác MNPQ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
$\Delta $AMD = $\Delta $BPC (g-c-g) $\Rightarrow $ MD = PC (2)
Trừ theo vế đẳng thức (1) cho đẳng thức (2) ta được NM = NP
Như vậy hình chữ nhật MNPQ có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.
3.
Ta cần chứng minh 4 tam giác vuông EFG, IHG, CBI, CDE bằng nhau.
FG = GH = BI = DE
EF = HI = BC = CD
$\Rightarrow $ EG = GI = IC = CE và $\widehat{ICB}=\widehat{DCE}$
$\widehat{DCE}+\widehat{ECB}=90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{ICB}+\widehat{ECB}=90^{\circ}=\widehat{ECI}$
$\Rightarrow $ tứ giác EGIC là hình vuông.