Bài tập về vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thoi.

1.

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành ABCD ta được:

AB // CD

AC CD

ABAC. Do đó ΔABC vuông ở A, ΔACD vuông ở C.

Do M, N là trung điểm của AD, BC theo giả thiết nên AN, CM thứ tự là trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông ABC và ACD

Do đó AN = 12BC; CM = 12AD

Mà AD = BC; AM = MD; BN = NC

AM = MC = CN = NA

Tứ giác AMCN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

2.

Xét ΔBDC và ΔCEB là 2 tam giác vuông có:

chung BC

DCB^=EBC^ (ΔABC cân tại A)

ΔBDC = ΔCEB

EB = DC (1)

Dễ thấy ED // BC nên tứ giác DEBC là hình thang. (2)

Từ (1), (2) ta được tứ giác DEBC là hình thang cân.

Có: MK AC; BD AC nên MK // BD.

ΔBDC có M là trung điểm của BC; MK // BD nên MK là đường trung bình của ΔBDC

K là trung điểm của DC và MK = 12DB

Ta lần lượt chứng minh MH, HI, IK cũng là đường trung bình của các tam giác ΔBEC, ΔBED, ΔEDC

HM = 12EC; HI = 12BD; IK = 12EC.

Mà EC = BD (do DEBC là hình thang cân)

HI = IK = KM = MH

Vậy tứ giác HUKM là hình thoi.

3.

Tứ giác APCQ là hình thoi.

Giải thích:

ΔABM = ΔADN (c.g.c)

A1^=A4^, do đó A2^=A3^.

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC BD

ΔAPQ có đường cao AO là đường phân giác nên OP = OQ

Tứ giác APCQ có OP = OQ; OA = OC và AO là tia phân giác của PAQ^ nên tứ giác APCQ là hình thoi.