Bài tập về sử dụng định nghĩa và tính chất của hình thoi để tính toán, chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các đường thẳng vuông góc với nhau

Bài tập về sử dụng định nghĩa và tính chất của hình thoi để tính toán, chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau, các đường thẳng vuông góc với nhau.

1. 

Vì hình thoi có chu vi bằng 16cm nên cạnh AD = 4cm.

Lại có đường cao AH = 2cm. 

$\mathrm{\Delta }$AHD vuông tại H có AD = 2AH nên $\widehat{ADH}={30}^{\circ }$

Do đó $\hat{B}=\hat{D}={30}^{\circ }$; $\hat{A}=\hat{C}={150}^{\circ }$

2. 

Ta có $\mathrm{\Delta }$ABE = $\mathrm{\Delta }$BCF (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow$ BE = BF (1)

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$BEF cân.

$\mathrm{\Delta }$ABE và $\mathrm{\Delta }$BFC là các tam giác vuông có $\widehat{BAE}=\widehat{BCF}={60}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{CBF}={30}^{\circ }$

Mà $\widehat{ABC}={120}^{\circ }\Rightarrow \widehat{EBF}={60}^{\circ }$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\mathrm{\Delta }$BEF đều.

3.

a) Tứ giác MNCD là hình thoi vì có 4 cạnh bằng nhau.

b) $\mathrm{\Delta }$MCE là tam giác cân tại M vì có MF vừa là đường cao vừa là đường phân giác.

c) Đặt $\widehat{E_1}=a$ thì $\widehat{M_1}=a$ vì so le trong với $\widehat{E_1}$.

$\widehat{M_2}=\widehat{M_1}=a$ vì $\mathrm{\Delta }$MEC cân tại M có MF là phân giác.

Lại có $\widehat{M_2}=\widehat{M_3}=a$ theo tính chất hình thoi.

Do đó $\widehat{BAD}=\widehat{NMD}=2a=2\widehat{AEM}$