Bài tập về trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh - góc - cạnh (c.g.c).
5.
a) Xét $\Delta $OCB và $\Delta $OAD có:
- OA = OC (giả thiết)
- OB = OD (giả thiết)
- $\widehat{xOy}$ chung
$\Rightarrow $ $\Delta $OCB = $\Delta $OAD (c.g.c)
b) $\Delta $OCB = $\Delta $OAD
$\Rightarrow $ AD = CB; $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$
Mà $\widehat{OAD}+\widehat{BAD}=\widehat{DCB}+\widehat{OCB}$
$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{DCB}$
Có: OB = OD; OA = OC $\Rightarrow $ OB - OA = OD - OC $\Rightarrow $ AB = CD
Xét $\Delta $DAB và $\Delta $BCD có:
- AB = CD
- AD = CB
- $\widehat{BAD}=\widehat{DCB}$
$\Rightarrow $ $\Delta $DAB = $\Delta $BCD (c.g.c)
6.
Xét $\Delta $AMC và $\Delta $BMH có;
- MA = MB (M là trung điểm của AB)
- $\widehat{AMC}=\widehat{BMH}$ (hai góc đối đỉnh)
- MC = MH
$\Rightarrow $ $\Delta $AMC = $\Delta $BMH (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{CAM} = \widehat{HBM}$
Mà $\widehat{MAC}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{HBM}=90^{\circ}$
$\Rightarrow HB\perp BM$
7.
a) Có: $\widehat{AMD}=\widehat{CMD}+60^{\circ}$
$\widehat{CMB}=\widehat{CMD}+60^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{AMD}=\widehat{CMB}$
Xét $\Delta $AMD và $\Delta $CMB có:
- AM = MC
- $\widehat{AMD}=\widehat{CMB}$
- MD = MB
$\Rightarrow $ $\Delta $AMD = $\Delta $CMB (c.g.c)
Suy ra AD = CB
b) AD = CB $\Rightarrow \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}CB$ hay DE = BF
Xét $\Delta $EDM và $\Delta $FBM có:
- DE = BF
- $\widehat{EDM}=\widehat{FBM}$
- DM = BM
$\Rightarrow $ $\Delta $EDM = $\Delta $FBM (c.g.c)
Suy ra $\widehat{EMD}=\widehat{FMB}$
Mà $\widehat{FMB}+\widehat{FMD}=60^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{EMD}+\widehat{FMD}=60^{\circ}$ hay $\widehat{EMF}=60^{\circ}$
8.
a) Có $\widehat{BAM}=\widehat{A}+90^{\circ}$
$\widehat{NAC}=\widehat{A}+90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{NAC}$
Xét $\Delta $ABM và $\Delta $ANC có:
- AM = AC
- $\widehat{BAM}=\widehat{NAC}$
- AB = AN
$\Rightarrow $ $\Delta $ABM = $\Delta $ANC (c.g.c)
b) Theo câu a ta có: $\Delta $ABM = $\Delta $ANC
$\Rightarrow $ BM = NC (hai cạnh tương ứng)
c) CN cắt AB tại E và cắt BM tại F
$\Delta $ABM = $\Delta $ANC $\Rightarrow \widehat{ANE}=\widehat{ABF}$
Mà: $\widehat{NEA}=\widehat{BEF}$
$\widehat{NEA} + \widehat{EAN}+\widehat{ANE}=180^{\circ}$
$\widehat{BEF} + \widehat{EFB}+\widehat{FBE}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{EAN}=\widehat{EFB}=90^{\circ}$. Hay EF $\perp $BF
Vậy BM $\perp $ NC
9.
a) Xét $\Delta $AOB và $\Delta $A'OB' có:
- OA = OA'
- $\widehat{AOB}=\widehat{A'OB'}$
- OB = OB'
$\Rightarrow $ $\Delta $AOB = $\Delta $A'OB' (c.g.c)
Tương tự ta có: $\Delta $AOC = $\Delta $A'OC'; $\Delta $BOC = $\Delta $B'OC'
$\Delta $AOB = $\Delta $A'OB' $\Rightarrow $ AB = A'B'
$\Delta $AOC = $\Delta $A'OC' $\Rightarrow $ AC = A'C'
$\Delta $BOC = $\Delta $B'OC' $\Rightarrow $ BC = B'C'
Từ đó ta được $\Delta $ABC = $\Delta $A'B'C' (c.c.c)
b)
$\Delta $AOB = $\Delta $A'OB' $\Rightarrow \widehat{BAO}=\widehat{B'A'O}$. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // A'B'
Tương tự ta có AC // A'C'; BC // B'C'