Bài tập về trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh - góc - cạnh (c.g.c).

5.

a) Xét $\Delta $OCB và $\Delta $OAD có:

  • OA = OC (giả thiết)
  • OB = OD (giả thiết)
  • $\widehat{xOy}$ chung

$\Rightarrow $ $\Delta $OCB = $\Delta $OAD (c.g.c)

b) $\Delta $OCB = $\Delta $OAD

$\Rightarrow $ AD = CB; $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$

Mà $\widehat{OAD}+\widehat{BAD}=\widehat{DCB}+\widehat{OCB}$

$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{DCB}$

Có: OB = OD; OA = OC $\Rightarrow $ OB - OA = OD - OC $\Rightarrow $ AB = CD

Xét $\Delta $DAB và $\Delta $BCD có:

  • AB = CD
  • AD = CB
  • $\widehat{BAD}=\widehat{DCB}$

$\Rightarrow $ $\Delta $DAB = $\Delta $BCD (c.g.c)

6. 

Xét $\Delta $AMC và $\Delta $BMH có;

  • MA = MB (M là trung điểm của AB)
  • $\widehat{AMC}=\widehat{BMH}$ (hai góc đối đỉnh)
  • MC = MH

$\Rightarrow $ $\Delta $AMC = $\Delta $BMH (c.g.c)

$\Rightarrow  \widehat{CAM} = \widehat{HBM}$

Mà $\widehat{MAC}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{HBM}=90^{\circ}$

$\Rightarrow HB\perp BM$

7. 

a) Có: $\widehat{AMD}=\widehat{CMD}+60^{\circ}$

       $\widehat{CMB}=\widehat{CMD}+60^{\circ}$

 $\Rightarrow \widehat{AMD}=\widehat{CMB}$

Xét $\Delta $AMD và $\Delta $CMB có:

  • AM = MC
  • $\widehat{AMD}=\widehat{CMB}$ 
  • MD = MB

$\Rightarrow $ $\Delta $AMD = $\Delta $CMB (c.g.c)

Suy ra AD = CB

b) AD = CB $\Rightarrow \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}CB$ hay DE = BF

Xét $\Delta $EDM và $\Delta $FBM có:

  • DE = BF
  • $\widehat{EDM}=\widehat{FBM}$ 
  • DM = BM

$\Rightarrow $ $\Delta $EDM = $\Delta $FBM (c.g.c)

Suy ra $\widehat{EMD}=\widehat{FMB}$

Mà $\widehat{FMB}+\widehat{FMD}=60^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{EMD}+\widehat{FMD}=60^{\circ}$ hay $\widehat{EMF}=60^{\circ}$

8.

a) Có $\widehat{BAM}=\widehat{A}+90^{\circ}$

      $\widehat{NAC}=\widehat{A}+90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{NAC}$

Xét $\Delta $ABM và $\Delta $ANC có:

  • AM = AC
  • $\widehat{BAM}=\widehat{NAC}$
  • AB = AN

$\Rightarrow $ $\Delta $ABM = $\Delta $ANC (c.g.c)

b) Theo câu a ta có: $\Delta $ABM = $\Delta $ANC

$\Rightarrow $ BM = NC (hai cạnh tương ứng)

c) CN cắt AB tại E và cắt BM tại F

$\Delta $ABM = $\Delta $ANC $\Rightarrow \widehat{ANE}=\widehat{ABF}$ 

Mà: $\widehat{NEA}=\widehat{BEF}$

    $\widehat{NEA} + \widehat{EAN}+\widehat{ANE}=180^{\circ}$

    $\widehat{BEF} + \widehat{EFB}+\widehat{FBE}=180^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{EAN}=\widehat{EFB}=90^{\circ}$. Hay EF $\perp $BF

Vậy BM $\perp $ NC

9.

a) Xét $\Delta $AOB và $\Delta $A'OB' có:

  • OA = OA'
  • $\widehat{AOB}=\widehat{A'OB'}$
  • OB = OB'

$\Rightarrow $ $\Delta $AOB = $\Delta $A'OB' (c.g.c)

Tương tự ta có: $\Delta $AOC = $\Delta $A'OC'; $\Delta $BOC = $\Delta $B'OC'

$\Delta $AOB = $\Delta $A'OB' $\Rightarrow $ AB = A'B'

$\Delta $AOC = $\Delta $A'OC' $\Rightarrow $ AC = A'C'

$\Delta $BOC = $\Delta $B'OC' $\Rightarrow $ BC = B'C'

Từ đó ta được $\Delta $ABC = $\Delta $A'B'C' (c.c.c)

b) 

$\Delta $AOB = $\Delta $A'OB' $\Rightarrow \widehat{BAO}=\widehat{B'A'O}$. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // A'B'

Tương tự ta có AC // A'C'; BC // B'C'