Bài tập về tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Bài tập về tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.

1. A = $x^{2} - 5 x + 2$

= ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{17}{4}$

Vì ${(x - \frac{5}{2})}^{2} \geq 0$ nên A $\geq 0 - \frac{17}{4}$ . Hay A $\geq - \frac{17}{4}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng - $\frac{17}{4}$ khi x = $\frac{5}{2}$

2. B = $5 x - x^{2} + 3$

= $\frac{37}{4} - {(x - \frac{5}{2})}^{2}$

Vì ${(x - \frac{5}{2})}^{2} \geq 0$ nên B $\leq \frac{37}{4} - 0$ . Hay B $\leq \frac{37}{4}$

Vậy giá trị lớn nhất của B bằng $\frac{37}{4}$ khi x = $\frac{5}{2}$

3. C = $\frac{2 x + 1}{x^{2}}$

ĐKXĐ: $x \neq 0$

Ta có: C = $\frac{2 x + 1}{x^{2}} = \frac{(x + 1)^{2} - x^{2}}{x^{2}} = {(\frac{x + 1}{x})}^{2} - 1$

Vì ${(\frac{x + 1}{x})}^{2} \geq 0$ nên C $\geq 0 - 1$ . Hay C $\geq$ -1

Vậy giá trị nhỏ nhất của C bằng -1 khi x = -1

4. D = $\frac{5 x^{2} - 2 x + 1}{x^{2}}$

ĐKXĐ: $x \neq 0$

Ta có: D = $\frac{5 x^{2} - 2 x + 1}{x^{2}}$

= $5 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Đặt y = $\frac{1}{x}$ ( $y \neq 0$ ) thì ta có:

D = $5 - 2 y + y^{2} = (y - 1)^{2} + 4 \geq 4$

Vậy giá trị nhỏ nhất của D bằng 4 khi y = 1 hay x = 1

5. E = $(x - 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) = [(x - 1) (x + 6)] . [(x + 2) (x + 3)]$

= $(x^{2} + 5 x - 6) (x^{2} + 5 x + 6)$

= $(x^{2} + 5 x)^{2} - 6^{2}$

Vì $(x^{2} + 5 x)^{2} \geq 0$ nên E $\geq$ -36

Vậy giá trị nhỏ nhất của E bằng -36 khi $x^{2} + 5 x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = - 5$

6. M = $x^{2} - 2 x + y^{2} + 4 y + 7$

= $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + 2$

Vì $(x - 1)^{2} \geq 0; (y + 2)^{2} \geq 0 \forall x, y \in R$ nên M $\geq$ 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2 khi x = 1 và y = -2