Bài tập về tính độ dài đoạn thẳng

Bài tập về tính độ dài đoạn thẳng.

1.

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào $\mathrm{\Delta }$ABC, ta được:

$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ hay $\frac{AB}{AC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow$ AB = 3t và AC = 4t (với t>0)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\mathrm{\Delta }$ABC vuông ở A ta được:

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2$

Hay ${35}^2=(3t{)}^2+(4t{)}^2$

$\iff {35}^2=25t^2$

$\Rightarrow t=7$

Vậy AB = 7.3 = 21 (cm); AC = 7.4 = 28 (cm)

2.

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào $\mathrm{\Delta }$ABC, ta được:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow BD=\frac{2}{5}BC=\frac{2}{5}.50=20$ (cm)

            $CD=\frac{3}{5}BC=\frac{3}{5}.50=30$ (cm)

3.

Áp dụng tính chất của đường phân giác BD vào $\mathrm{\Delta }$ABC ta được:

$\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{CB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

$\Rightarrow$ AD = 3t; DC = 5t

Do đó AC = AD + DC = 8t

Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\mathrm{\Delta }$ABD vuông ở A, ta được:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

$\iff {10}^2=(8t{)}^2+6^2$

$\Rightarrow$ t = 1

$\Rightarrow$ AD = 3cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\mathrm{\Delta }$ABD vuông tại A ta được:

$D{B}^2=D{A}^2+A{B}^2$ hay $B{D}^2=3^2+6^2$

$\Rightarrow BD=3\sqrt{5}$

4.

Trước hết ta đi tính BC và AH.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\mathrm{\Delta }$ABC vuông ở A, ta được:

$B{C}^2=C{A}^2+A{B}^2$ hay $B{C}^2={15}^2+{20}^2\iff B{C}^2={25}^2$

$\iff$ BC = 25 (cm)

Đặt BD = x thì DC = 25 - x.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào hai tam giác vuông AHB và AHC vuông ở H, ta được:

$A{B}^2=B{H}^2+H{A}^2$

$A{C}^2=C{H}^2+H{A}^2$

$\Rightarrow A{B}^2-B{H}^2=A{H}^2=A{C}^2-C{H}^2$

$\Rightarrow {15}^2-x^2={20}^2-(25-x{)}^2$

$\iff {15}^2-x^2-{20}^2+(25-x{)}^2=0$

$\iff 50x=450$

$\iff x=9$

Nên HC = 25 - 9 = 16 (cm)

$\Rightarrow A{H}^2={15}^2-9^2={12}^2$

$\Rightarrow AH=12$ (cm)

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào $\mathrm{\Delta }$ABH ta được:

$\frac{DB}{DH}=\frac{BA}{HA}$ hay $\frac{DB}{DH}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$

$\Rightarrow \frac{DB}{5}=\frac{DH}{4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\frac{DB}{5}=\frac{DH}{4}=\frac{DB+DH}{5+4}=\frac{BH}{9}=\frac{9}{9}=1$

$\Rightarrow$ DH = 4 (cm)

Áp dụng tính chất của đường phân giác AE vào $\mathrm{\Delta }$ACH, ta được:

$\frac{EC}{EH}=\frac{CA}{HA}$ hay $\frac{EC}{EH}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$

$\Rightarrow \frac{EC}{5}=\frac{EH}{3}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\frac{EC}{5}=\frac{EH}{3}=\frac{EC+EH}{3+5}=\frac{CH}{8}=\frac{16}{8}=2$

$\Rightarrow$ HE = 6cm