Bài tập về tính số độ dài, tỉ số diện tích hai tam giác

Bài tập về tính số độ dài, tỉ số diện tích hai tam giác.

5.

a) Áp dụng tính chất của đường phân giác BD vào $\mathrm{\Delta }$ABC ta được:

$\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{CB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow$ AD = $\frac{2}{5}$AC = 2(cm); DC = $\frac{3}{5}$AC = 3(cm)

b) Ta có:

$\frac{S_{DAE}}{S_{ACE}}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{5}$ (1)(vì chung đường cao kẻ từ E đến AC)

$\frac{S_{ACE}}{S_{ABC}}=\frac{AE}{AB}$ (vì chung đường cao kẻ từ C đến AB)

Áp dụng tính chất của đường phân giác CE vào $\mathrm{\Delta }$ABC ta được:

$\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{EB}{BC}$

Hay $\frac{AE}{5}=\frac{EB}{6}=\frac{AE+EB}{5+6}=\frac{AB}{11}$

$\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{5}{11}$

$\Rightarrow \frac{S_{ACE}}{S_{ABC}}=\frac{5}{11}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{S_{DAE}}{S_{ACE}}.\frac{S_{ACE}}{S_{ABC}}=\frac{2}{5}.\frac{5}{11}=\frac{2}{11}$

Hay $\Rightarrow \frac{S_{DAE}}{S_{ABC}}=\frac{2}{11}$

6.

Kẻ EI // BK thì DI // EK.

Áp dụng định lí Ta-lét vào $\mathrm{\Delta }$AID và $\mathrm{\Delta }$BKC có DI // EK và DI // BK, ta được:

$\frac{AK}{KI}=\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}\Rightarrow AK=\frac{3KI}{2}$ (1)

$\frac{CK}{KI}=\frac{CB}{BD}$ (2)

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào $\mathrm{\Delta }$ABC ta được:

$\frac{CD}{DB}=\frac{CA}{AB}$ hay $\frac{CD}{DB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{CD}{2}=\frac{DB}{3}=\frac{CD+DB}{2+3}=\frac{BC}{5}$

$\Rightarrow \frac{CB}{BD}=\frac{5}{3}$  (3)

Thay (3) vào (2) ta được:

$\frac{CK}{KI}=\frac{5}{3}\Rightarrow CK=\frac{5KI}{3}$ (4)

Chia theo vế đẳng thức (1) và (4) ta được:

$\frac{AK}{KC}=\frac{3KI}{2}:\frac{5KI}{3}=\frac{9}{10}$

7.

a) Áp dụng tính chất của các đường phân giác AD và BI vào $\mathrm{\Delta }$ABC và $\mathrm{\Delta }$ABD ta được:

$\frac{DI}{IA}=\frac{DB}{BA}=\frac{DB}{c}$ (1)

$\frac{DB}{BA}=\frac{DC}{CA}$ hay $\frac{DB}{c}=\frac{DC}{b}=\frac{BC}{b+c}=\frac{a}{b+c}$

$\Rightarrow DB=\frac{ac}{b+c}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

$\frac{DI}{IA}=\frac{ac}{c(b+c)}=\frac{a}{b+c}$

$\Rightarrow \frac{DI}{a}=\frac{IA}{b+c}=\frac{DI+IA}{a+b+c}=\frac{AD}{a+b+c}$

$\Rightarrow \frac{DI}{DA}=\frac{a}{a+b+c}$ (3)

b) Chứng minh tương tự như câu a) ta cũng được:

$\frac{EI}{EB}=\frac{b}{a+b+c}$ (4); $\frac{FI}{FC}=\frac{c}{a+b+c}$ (5)

Cộng theo vế các đẳng thức (3), (4) và (5) ta được:

$\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$