Bài tập về tính diện tích hình thang.
1.
Kẻ đường cao BH thì tứ giác ABHD có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
$\Rightarrow $ DH = AB = 2cm. Do đó HC = 6 -2 = 4.
$\Delta $BCH có $\widehat{C}=45^{\circ}$ nên vuông cân ở H
$\Rightarrow $ BH = HC
Áp dụng công thức tính diện tích hình thang ta được:
S = $\frac{(AB+CD).BH}{2}=\frac{(2+6).4}{2}=16(cm^{2})$
2.
Kẻ đường cao BH thì tứ giác ABHD có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật, suy ra DH = AB = 3cm.
Do đó HC = 12 - 3 = 9 (cm)
Vì $\Delta $BCH vuông tại H có $\widehat{C}=30^{\circ}$ nên BH = $\frac{1}{2}$BC = 4 (cm)
Vậy diện tích hình thang ABCD là:
S = $\frac{(AB + CD).BH}{2}=\frac{(3+12).4}{2}=30(cm^{2})$
3.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC thì EF là đường trung bình của hình thang ABCD nên EF // CD và 2EF = AB + CD.
Xét $\Delta $ADH vuông tại H có E là trung điểm của cạnh huyền AD nên EH = DE = $\frac{1}{2}$AD.
Mà AD = BC; FC = $\frac{1}{2}$BC
$\Rightarrow $ EH = FC (1)
$\Delta $EDH có ED = EH nên $\Delta $EDH cân tại E $\Rightarrow \widehat{EDH}=\widehat{EHD}$
Mà $\widehat{EDH}=\widehat{FCE}$ (hình thang ABCD cân)
$\Rightarrow \widehat{FCH}=\widehat{EHD}$
$\Rightarrow $ EH // FC (2)
Từ (1) và (2) ta được EHCF là hình bình hành.
$\Rightarrow $ EF = HC = 8 (cm)
Vậy ta được diện tích hình thang ABCD là:
S = $\frac{(AB+CD).AH}{2}=\frac{2.EF.AH}{2}=EF.AH = 8.12 = 96(cm^{2})$
4.
Xét hình thang ABCD (AB // CD) có M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Ta phải chứng minh $S_{AND}= \frac{1}{2}S_{ABCD}$
Ta có: $\Delta $ABN = $\Delta $ECN (g.c.g)
$\Rightarrow S_{ABN}=S_{ECN}$ (1) và AN = NE.
$\Rightarrow S_{ABN}+S_{ANCD}=S_{ECN}+S_{ANCD}$
$\Rightarrow S_{ABCD}=S_{AED}$ (2)
Mà $S_{AND}=S_{NED}$ (3) vì chung chiều cao kẻ từ D đến AE, đáy bằng nhau.
Từ (2) và (3) suy ra $S_{AND}=\frac{1}{2}S_{AED}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$