Bài tập về tính diện tích đa giác

Bài tập về tính diện tích đa giác.

Xét $Δ$ ABC có a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và r là khoảng cách từ giao điểm của các đường phân giác đến các cạnh.

Vì p là nửa chu vi nên p = $\frac{a + b + c}{2}$

Áp dụng tính chất cộng diện tích vào $Δ$ ABC ta có:

$S_{A B C} = S_{I B C} + S_{I C A} + S_{I A B}$

= $\frac{a . r}{2} + \frac{b . r}{2} + \frac{c . r}{2} = r . \frac{a + b + c}{2} = p . r$

Nhận xét:

74 = $7^{2} + 5^{2}$

116 = $10^{2} + 4^{2}$

370 = $(10 + 7)^{2} + (5 + 4)^{2}$

Vẽ $Δ$ ABC vuông ở A có AB = 5 + 4; AC = 10 + 7.

Dựng hình chữ nhật ADKE như hình vẽ.

Theo định lý Py-ta-go ta có: $B C^{2} = 370$ ; $B K^{2} = 74$ ; $K C^{2} = 116$

Vậy ba cạnh của $Δ$ BKC chính là ba cạnh của hồ nước.

Do đó:

$S_{B K C} = S_{A B C} - S_{B D K} - S_{K E C} - S_{A D K E}$

= $\frac{17.19}{2} - \frac{5.7}{2} - \frac{4.10}{2} - 4.7$

= 11 (ha)

Vậy diện tích của hồ là 11 ha.

Gọi G là giao điểm của AD và BE; K, H thứ tự là giao điểm của FC với BE, AD.

Vì AB // DE nên khoảng cách A, B đến DE bằng nhau nên $S_{D E A} = S_{D E B}$ (vì chung đáy DE, chiều cao bằng nhau)

$\Rightarrow S_{D E A} - S_{D E B} = S_{D E B} - S_{D E B}$

$\Leftrightarrow S_{A G E} = S_{B D G}$ (1)

Chứng minh tương tự ta cũng được:

$S_{E K C} = S_{B K F}$ (2)

$S_{E K C} = S_{F H D}$ (3)

$S_{E K C} = S_{G H K}$ (4)

Cộng theo vế các đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta được:

$S_{A G E} + S_{E K C} + S_{E K C} + S_{E K C} = S_{B D G} + S_{B K F} + S_{F H D} + S_{G H K}$

$\Leftrightarrow S_{A C E} = S_{B D F}$